Analisis Survival, Hazard Rate, dan Hazard Ratio
Pahami fungsi survival, hazard, kurva Kaplan–Meier, regresi Cox, proportional hazards, dan penerapan time-to-event pada kredit serta pasar keuangan
Jawaban langsung
Analisis survival mempelajari waktu sejak titik awal yang ditentukan sampai suatu peristiwa dengan tetap mempertahankan observasi yang waktu peristiwanya hanya diketahui sebagian. Fungsi survival adalah probabilitas tetap bebas dari peristiwa melewati suatu horizon; hazard adalah laju peristiwa sesaat di antara unit yang masih berisiko, bukan probabilitas biasa. Kaplan–Meier mengestimasi kurva survival tanpa penyesuaian, sedangkan regresi Cox menghubungkan kovariat dengan hazard melalui hazard ratio. Setiap interpretasi bergantung pada titik awal waktu, definisi peristiwa, proses censoring, dan asumsi proportional hazards
Waktu dan peristiwa harus didefinisikan bersama
Outcome biner mencatat apakah default terjadi. Data time-to-event juga mencatat kapan hal itu terjadi dan berapa lama pinjaman yang belum default diamati
Jam dapat dimulai saat origination, listing, adopsi kebijakan, atau masuk portofolio. Mengubah titik awal mengubah risk set dan pertanyaan yang dijawab
Definisikan peristiwa, skala waktu, jendela observasi, delayed entry, dan peristiwa berulang sebelum memilih estimator. Jam yang ambigu menghasilkan jawaban presisi untuk pertanyaan yang tidak jelas
Survival dan hazard menggambarkan objek yang berbeda
Fungsi survival S(t) adalah probabilitas bahwa waktu peristiwa T melebihi t. Fungsi ini turun dari satu ketika peristiwa terakumulasi dan mendukung probabilitas survival pada horizon tertentu
Hazard h(t) adalah laju sesaat bersyarat pada unit yang tetap bebas peristiwa sampai t. Nilainya dapat melebihi satu karena merupakan laju, bukan probabilitas periode
Survival mencerminkan hazard yang terakumulasi sepanjang waktu. Hazard tinggi yang singkat dan hazard sedang yang persisten dapat menghasilkan kurva berbeda meskipun berbagi satu nilai pada suatu saat
Kaplan–Meier membangun kurva dari risk set
Pada setiap waktu peristiwa, estimator Kaplan–Meier mengalikan estimasi survival sebelumnya dengan fraksi risk set yang bertahan melewati waktu peristiwa tersebut
Unit yang di-censor kanan berkontribusi selama masih diamati dan meninggalkan risk set pada waktu censoring. Unit itu bukan peristiwa dan tidak diasumsikan bertahan selamanya
Estimasi akhir dapat bertumpu pada sedikit unit yang tersisa. Tampilkan jumlah yang berisiko dan pita kepercayaan agar ekor visual yang panjang tidak disalahartikan sebagai bukti kuat
Kurva dapat dibandingkan dengan beberapa cara
Median survival adalah waktu pertama ketika kurva mencapai setengah, tetapi tidak terdefinisi jika kurang dari setengah unit mengalami peristiwa
Restricted mean survival time mengintegralkan kurva sampai horizon yang dipilih dan menyatakan waktu bebas peristiwa yang diharapkan dalam jendela tersebut
Pengujian log-rank membandingkan peristiwa yang diamati dengan yang diharapkan di seluruh risk set di bawah hipotesis nol kurva yang sama, tetapi satu p-value tidak menggambarkan ukuran atau waktu efek
Regresi Cox memodelkan hazard relatif
Model Cox menulis hazard suatu unit sebagai baseline hazard yang tidak dispesifikasikan dikalikan efek kovariat eksponensial. Partial likelihood mengestimasi efek relatif tanpa menentukan bentuk baseline
Hazard ratio 1.5 berarti laju peristiwa sesaat diestimasi 50% lebih tinggi pada setiap waktu yang dibandingkan di bawah proportional hazards dan kovariat tetap
Hazard ratio bukan kenaikan 50% pada probabilitas peristiwa kumulatif, bukan pernyataan tentang median waktu, dan bukan selisih risiko absolut yang konstan. Risiko baseline tetap penting
Proportional hazards adalah pembatasan substantif
Koefisien Cox standar mengasumsikan hazard ratio tetap sepanjang waktu. Kurva survival yang berpotongan atau efek yang berubah dapat bertentangan dengan ringkasan tersebut
Pola residual Schoenfeld dan interaksi waktu dapat mendiagnosis nonproportionality, tetapi pengujian yang tidak signifikan tidak menetapkan asumsi tersebut
Gunakan koefisien yang berubah menurut waktu, stratifikasi, model parametrik fleksibel, atau kontras spesifik horizon ketika satu rasio konstan mengaburkan proses
Penerapan keuangan memerlukan disiplin risk set
Default pinjaman, pelanggaran covenant, penutupan dana, churn pelanggan, dan waktu menuju akuisisi merupakan outcome waktu-peristiwa alami dengan follow-up yang tidak lengkap
Kondisi makroekonomi dan variabel akun dapat berubah sepanjang waktu. Menggunakan informasi masa depan sebagai kovariat baseline menciptakan bias look-ahead
Delisting, refinancing, dan pelunasan awal mungkin merupakan competing event, bukan censoring yang tidak berbahaya. Perlakuannya harus mengikuti pertanyaan bisnis
Laporkan hasil absolut dan relatif bersama-sama
Nyatakan jam, peristiwa, aturan censoring, aturan masuk, horizon, waktu kovariat, serta cara menangani ties atau peristiwa berulang
Berikan tabel risk, probabilitas survival pada horizon yang berguna, median atau restricted mean, hazard ratio dengan interval, dan diagnostik asumsi
Kesimpulan yang paling berguna menggabungkan asosiasi relatif dengan probabilitas peristiwa absolut untuk populasi dan horizon yang disebutkan, tanpa menyebut keduanya sebagai jaminan prakiraan
Pertanyaan umum
Dapatkah hazard rate lebih besar dari satu?
Ya. Hazard adalah laju sesaat per unit waktu, bukan probabilitas yang dibatasi pada interval tetap
Apakah hazard ratio 2 sama dengan probabilitas peristiwa dua kali lipat?
Tidak. Hazard ratio membandingkan laju sesaat di antara penyintas saat ini; probabilitas kumulatif juga bergantung pada baseline hazard dan waktu
Apa yang terjadi ketika median survival tidak tercapai?
Laporkan survival pada horizon yang relevan atau restricted mean survival time, bukan mengekstrapolasi median yang tidak didukung
Apakah Kaplan–Meier menyesuaikan kovariat?
Estimator dasar tidak. Kurva terstratifikasi membandingkan kelompok, sedangkan metode regresi memodelkan asosiasi kovariat