Proses Lévy dan Kompensator Lompatan Dijelaskan

Untuk proses Lévy X, kenaikan pada interval yang saling lepas adalah independen dan hukum X_{t+h}-X_t hanya bergantung pada h

Kontinuitas stokastik menyingkirkan diskontinuitas tetap dalam probabilitas, sedangkan versi càdlàg memberikan lintasan kontinu kanan dengan limit kiri

Model ini karena itu memiliki hukum kenaikan yang homogen terhadap waktu, sebuah asumsi kuat yang berguna secara analitis tetapi dapat diuji secara empiris

Konvensi pemotongan menghasilkan triplet (b, σ², ν): drift, varians Brownian, dan ukuran lompatan Lévy

Ukuran ν mencatat intensitas lompatan yang diharapkan menurut ukurannya dan harus memenuhi ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞

Perubahan fungsi pemotongan dapat mengubah drift b yang dilaporkan, tetapi tidak mengubah hukumnya ketika semua suku triplet ditransformasikan secara konsisten

Fungsi karakteristiknya berbentuk E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u)), dengan ψ ditentukan oleh triplet

Kenaikan stasioner independen mengubah konvolusi sepanjang waktu menjadi perkalian, yang menjadi penskalaan linear dari eksponen karakteristik

Struktur ini mendukung metode opsi Fourier, tetapi inversi numerik tetap memerlukan kendali damping, grid, dan pemotongan

Dekomposisi menulis X sebagai drift, komponen Brownian, lompatan besar, dan lompatan kecil yang terkompensasi

Lompatan besar memiliki intensitas kedatangan hingga di atas ambang tetap apa pun; tak terhingga banyak lompatan kecil dapat terjadi dalam waktu hingga

Aktivitas tak hingga dan variasi tak hingga adalah sifat yang berbeda, jadi integral terhadap ν harus diperiksa, bukan menyimpulkan salah satunya dari yang lain

Misalkan N(dt,dx) menghitung lompatan berukuran x; untuk proses Lévy, kompensatornya adalah dtν(dx)

Ukuran terkompensasi Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) mengurangkan kedatangan lompatan yang dapat diprediksi dan mengintegralkan kejutan yang sesuai menjadi martingale lokal

Jumlah lompatan mentah dan integral terkompensasi memiliki drift yang berbeda, jadi berpindah di antara keduanya tanpa menyesuaikan variasi hingga akan mengubah model

Model aset sering menetapkan S_t = S_0e^{X_t} atau menggunakan eksponensial stokastik, tetapi positivitas saja tidak membuat harga yang didiskontokan menjadi martingale

Eksponen karakteristik harus memenuhi momen eksponensial dan kondisi martingale yang relevan di bawah ukuran penetapan harga yang dipilih

Lompatan menciptakan risiko yang tidak terentang, sehingga ukuran martingale ekuivalen dapat tidak unik dan penetapan harga memerlukan aturan pemilihan tambahan

Lompatan Lévy dapat menyesuaikan kemencengan, ekor berat, dan smile jatuh tempo pendek lebih baik daripada difusi murni

Kenaikan stasioner independen mengecualikan pengelompokan volatilitas, dinamika leverage, dan intensitas lompatan yang berubah terhadap waktu kecuali model diperluas

Periksa keberadaan momen, pemotongan lompatan kecil, koreksi martingale, stabilitas kalibrasi, ekstrapolasi ekor, dan galat lindung nilai di luar sampel