Ekspansi Cornish–Fisher untuk Kuantil Risiko

Untuk probabilitas p, misalkan z_p=Φ^{-1}(p) adalah kuantil normal standar

Cornish–Fisher menyesuaikan z_p, lalu menskala ulang hasilnya dengan mean target μ dan simpangan baku σ

Ekspansi ini menjawab ambang batas yang sesuai dengan p, bukan densitas atau kerugian ekspektasian di luar ambang tersebut

Dengan kemencengan terstandar γ₁ dan kurtosis berlebih γ₂, pemotongan umum dimulai dari z_p+γ₁(z_p²−1)/6

Kemudian ditambahkan γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36 sebelum dikalikan dengan σ dan ditambah μ

Suku γ₁² menunjukkan bahwa orde asimtotik tidak sama dengan sekadar menambahkan satu koreksi untuk setiap momen yang lebih tinggi

Cornish–Fisher dapat diturunkan dengan membalik aproksimasi Edgeworth terhadap distribusi kumulatif

Edgeworth mengaproksimasi densitas atau CDF pada x; Cornish–Fisher mengaproksimasi x yang mencapai probabilitas kumulatif tertentu

Keduanya memerlukan barisan asimtotik dan penskalaan kumulan yang dinyatakan agar pemotongannya memiliki orde terkendali

Estimasi return fisik dapat menyesuaikan skenario VaR historis atau prakiraan, sedangkan kumulan tersirat opsi menggambarkan distribusi netral risiko

Kedua input itu menjawab pertanyaan yang berbeda dan tidak boleh dicampur hanya karena sama-sama menggunakan istilah kemencengan dan kurtosis

Cornish–Fisher menyediakan ambang batas, bukan expected shortfall, yang bergantung pada seluruh distribusi kerugian di luar ambang tersebut

Koreksi polinomial tumbuh cepat untuk |z_p| besar dan dapat membuat kuantil terestimasi menurun ketika p meningkat

Kemencengan atau kurtosis yang besar juga dapat menempatkan aproksimasi di luar support variabel atau membalik urutan ekor yang dimaksud

Penyusunan ulang monoton dapat memperbaiki urutan secara numerik, tetapi kurva yang diperbaiki itu bukan lagi ekspansi terpotong yang asli

Kemencengan dan kurtosis sampel berisik serta sensitif terhadap pencilan, pilihan jendela, perubahan rezim, dan dependensi

Menggunakan input terestimasi seolah-olah diketahui mengabaikan ketidakpastian parameter yang dapat mendominasi koreksi asimtotik formal

Probabilitas ekor jauh memperbesar galat koefisien sekaligus galat pemotongan, tepat pada area ketika keputusan risiko paling konsekuensial

Periksa q(p) pada grid probabilitas yang rapat untuk monotonisitas, nilai berhingga, batas support, dan perilaku endpoint yang masuk akal

Bandingkan dengan distribusi eksak, simulasi, interval bootstrap, dan tingkat pelampauan di luar sampel pada beberapa level probabilitas

Catat konvensi kumulan, horizon sampel, perlakuan dependensi, orde pemotongan, metode perbaikan, dan perhitungan expected shortfall yang terpisah