Fama–MacBeth 迴歸：兩步估計風險溢價

因子 beta 和因子風險價格回答不同問題。beta 描述某項資產的回報在第一步時間序列迴歸中如何隨因子變動。風險價格係數通常寫作 \(\lambda\)，描述在第二步橫截面中，估計 beta 不同的資產其回報有何差異。Fama–MacBeth 方法先估計每個日期的風險價格，再按時間匯總這些估計。

當研究問題是：在一組指定股票或投資組合中，某個假設風險因子的曝險是否與平均回報相關，這種設計便有用。它是統計上的資產定價程序，不是因果識別設計；它本身也沒有指定一個只用當時可得資訊便能實際交易的投資組合。

Fama 和 MacBeth 的原始研究，對紐約證券交易所股票重複進行橫截面風險與回報迴歸。其後的研究，包括 Fama 和 French 的實證檢驗，令逐月估計橫截面斜率、再估計和檢驗平均風險價格成為常見做法。理解此方法的關鍵，是分開看兩次迴歸，並檢查每一步各自使用的樣本和假設。

對每項資產或測試投資組合 \(i\)，估計如下的時間序列迴歸：

\[ r^{e}_{i,t} = \alpha_i + \boldsymbol{\beta}_i^\top \mathbf{f}_t + \varepsilon_{i,t}, \]

其中 \(r^{e}_{i,t}\) 是資產的超額回報，\(\mathbf{f}_t\) 是日期 \(t\) 的因子回報向量，\(\boldsymbol{\beta}_i\) 是因子曝險向量。擬合得到的 \(\hat{\boldsymbol{\beta}}_i\) 之後會成為第二步的解釋變數。只含市場因子的例子會有一個 beta；多因子模型則會為每項因子估計一個負荷量。

第一步需要因子在時間序列上有足夠變動，才能估計斜率。長估計窗口會提供更多觀測，但可能混合不同市場狀態；短窗口較能反映近期曝險，卻可能令 beta 估計更不穩。研究者應說明回報頻率、樣本日期、因子構造、缺失資料規則、截距處理方式和估計窗口。

這不代表所有 beta 都必須用全樣本估計。在樣本結束後進行資產定價檢驗時，全樣本 beta 可以概括研究樣本的曝險。但在歷史交易模擬中，用未來觀測估計 beta 會洩漏資訊。此時應按每個模擬決策時點重新估計 beta，只使用此前已可取得的資料。

在每個日期 \(t\)，以第一步的 beta 對當日測試資產回報進行橫截面迴歸：

\[ r^{e}_{i,t} = \lambda_{0,t} + \hat{\boldsymbol{\beta}}_i^\top \boldsymbol{\lambda}_t + \eta_{i,t}. \]

\(\boldsymbol{\lambda}_t\) 是該日期的風險價格向量。若只有一個因子，橫截面斜率 \(\lambda_t\) 表示在該日期的資產橫截面中，估計 beta 每相差一個單位所對應的回報差異。\(\lambda_{0,t}\) 是獨立的橫截面截距。它應否自由估計、受限制，或解讀為零 beta 回報，視乎所檢驗的模型，以及使用原始回報還是超額回報。

第二個迴歸是在一個日期比較不同資產，並非再做一次時間序列迴歸。擬合效果會受測試資產數量和組成、估計 beta 的橫截面分散程度，以及 beta 之間的相關性影響。若資產間的 beta 幾乎沒有差異，橫截面便缺乏資訊去區分風險價格。加入大量曝險相近的資產，不能憑空創造不存在的曝險差異。

重複這項迴歸會得到風險價格序列 \(\hat{\boldsymbol{\lambda}}_1,\ldots,\hat{\boldsymbol{\lambda}}_T\)。因子 \(k\) 的 Fama–MacBeth 估計量，是下列時間平均：

\[ \bar{\lambda}_k = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\hat{\lambda}_{k,t}. \]

平均值的單位和頻率，與第二步橫截面迴歸所用回報的單位和頻率相同。如果橫截面採用權重、部分日期沒有觀測，或資產範圍隨時間改變，這些選擇會改變平均值所代表的對象，應一併報告。

假設三個測試投資組合的第一步市場 beta 估計值分別為 \(0.5\)、\(1.0\) 和 \(1.5\)。在一個假設月份，三者的超額回報分別是 \(0.3\%\)、\(0.8\%\) 和 \(1.3\%\)。這三個點恰好落在以下直線上：

\[ r^{e}_{i,t} = -0.2\% + 1.0\%\times\hat{\beta}_{i}. \]

該月估計斜率為 beta 每增加一個單位，回報增加 1.0 個百分點；截距為 \(-0.2\%\)。這個完全擬合的例子刻意很簡單，只用來示範計算；它不能證明市場 beta 已被定價，三個點也不足以構成有用的實證檢驗。

再假設六個不同月份估計的第二步斜率，依次為每 beta 單位 \(0.8\%\)、\(-0.4\%\)、\(1.0\%\)、\(-0.2\%\)、\(0.6\%\) 和 \(0.0\%\)。其算術平均為：

\[ (0.8 - 0.4 + 1.0 - 0.2 + 0.6 + 0.0)/6 = 0.3\%\text{每月}. \]

第一個月的斜率不是最終的 Fama–MacBeth 估計量；估計量是六個日期斜率的平均。負值月份也會留在計算中。只選正值月份會改變估計目標，並增加另一重篩選。這些虛構數字只示範算術，不代表市場結果，也不表示因子能預測回報。

最簡單的計算，是求出 \(T\) 個月度斜率估計的樣本標準差 \(s_\lambda\)，再除以 \(\sqrt{T}\)：

\[ \operatorname{SE}(\bar{\lambda}) = \frac{s_\lambda}{\sqrt{T}}. \]

將平均斜率估計值除以標準誤，便得到相應的 t 統計量。這項計算以時間上重複觀測到的斜率，估計平均風險價格的不確定性。資產數 \(N\) 會影響每月橫截面估計斜率的能力，但不能取代時間平均標準誤中的 \(T\)。

以上述六個假設斜率為例，其樣本標準差約為每月 0.576 個百分點。除以 \(\sqrt{6}\)，常規標準誤約為 0.235 個百分點；\(0.3/0.235\) 約為 1.28。六個觀測遠不足以作出可靠的顯著性判斷。這個計算只說明：平均值為正，和平均值估計得很精確，是兩回事。

常規標準誤亦依賴斜率時間序列的條件。若估計值有序列相關，假設各期觀測獨立的標準誤可能會錯誤衡量不確定性。樣本較短或資產組成改變時，漸近 t 統計量尤其容易不穩。報告 \(\lambda_t\) 序列的長度和頻率，不要只列出橫截面資產數量。

有時有人會將「Fama–MacBeth」和「pooled 面板迴歸」對比，好像兩者一定會產生不同斜率。其實有一個重要的特殊情況：若每個日期都包含相同資產、beta 解釋變數在日期間固定，而且每月橫截面都使用相同的普通最小二乘設計，逐日期 OLS 係數的平均值會等於 pooled OLS 的共同斜率係數。兩者概括的是同一組平衡橫截面迴歸。

若資產集合或權重隨日期改變、beta 隨時間變化、面板不平衡、控制變數不同，或 pooled 模型施加額外限制，這種相等關係便可能不成立。在這些情況中，各方法可能以不同方式加權日期或觀測值，回答不同的樣本問題。不要只憑方法名稱選擇；應列出確切的設計矩陣、加權方式和目標係數。

即使點估計相同，不確定性的計算亦可能不同。Fama–MacBeth 推論使用橫截面斜率隨時間的變化。pooled 迴歸則需要配合面板誤差結構的協方差估計量。按日期或資產群集、雙向協方差估計，或時間序列 HAC 估計都依賴不同假設；單是把模型稱為 pooled 或 Fama–MacBeth，並不會令任何一種標準誤自動正確。

第二步將 \(\hat{\boldsymbol{\beta}}_i\) 當成已知值，但它其實來自第一步估計迴歸。生成解釋變數的估計誤差，可能影響風險價格估計及其不確定性。Shanken 的分析針對特定資產定價設定推導 beta 定價推論的調整；它不是能修復每一種兩步設計的通用乘數。後續研究在不同條件下，分析大樣本性質和其他估計量。應說明使用哪種修正或推論方法，以及令它適用的假設。

\(\hat{\lambda}_{k,t}\) 的序列相關是另一個問題。例如重疊的多月回報會令相鄰日期的第二步斜率共用部分回報觀測。Newey–West 等異方差及自我相關一致（HAC）協方差估計，會在選定的滯後窗口內考慮序列相依，從而調整時間平均的方差估計。它不會把第一步 beta 估計誤差補回第二步、不會修正因子設定錯誤，也不能消除前視偏差。反過來，Shanken 調整也不能代替檢查 lambda 序列的相依性。

Jagannathan 和 Wang，以及 Shanken 和 Zhou，分別在特定模型和抽樣條件下分析 beta 定價程序的性質。因此應描述實際使用的兩步設計，而不是籠統地說普通 Fama–MacBeth 標準誤必定過小或必定有效。報告 beta 是只估計一次還是定期更新、如何處理 lambda 序列的相依、是否使用生成 beta 修正，以及這些選擇為何符合研究問題。

若平均 \(\lambda\) 為正且在統計上可區分於零，這表示在指定的測試資產範圍、因子定義、beta 估計和推論程序下，樣本中估計曝險較大的資產平均有較高回報。這並不表示投資者能在扣除成本後賺取該回報差，也不證明因子是回報的因果來源，或定價模型是正確的。

若改變因子組合、樣本期間、投資組合構造、beta 窗口、測試資產或加權方式，結果都可能改變。若在多個因子、樣本切分和模型規格中搜尋，還會產生多重檢定問題。只檢驗一項估計風險價格，也不能概括每項資產的聯合定價誤差。應說明結果是條件相關、基於模型的定價檢定，還是樣本外預測；不要混用這些標籤。

對實際或模擬策略，曝險和投資組合權重必須只用當時可得的資訊建立。策略也需要可執行的入市價格、換手率、交易成本、融資、容量和再平衡規則。因子 beta 是曝險估計；平均 \(\lambda\) 不是某個會自動賺取該 beta 溢價的投資組合回報。相關概念可參閱[因子載荷與因子模型](/zh-HK/learn/factor-models-factor-loadings-finance-explained)、[穩健標準誤與 HAC](/zh-HK/learn/robust-standard-errors-heteroskedasticity-hac-finance-explained)，以及[秩相關資訊係數](/zh-HK/learn/information-coefficient-rank-ic-quant-trading-explained)。

可解讀的結果應識別測試資產、因子回報、如有使用的無風險回報序列、回報單位、日期頻率和樣本期間。亦應記錄 beta 如何估計、第一步窗口是否與第二步檢驗期間重疊、每個日期納入哪些資產、如何處理缺失回報和成分變動、橫截面是否加權，以及截距是否納入或受限制。

推論部分應報告日期斜率數量 \(T\)、其時間序列平均和離散程度、標準誤估計方法、任何 HAC 頻寬、beta 估計修正，以及有限樣本處理選擇。除 t 統計量外，也要展示 beta 分散程度和橫截面擬合；資產數量很多，也不能彌補曝險幾乎相同的問題。可比較合理的估計窗口、因子定義和測試資產構造，但不要只挑選剛好給出最小 p 值的版本。

原始方法和應用研究提供例子，卻不能保證每個現代資料集都符合其假設。Fama 和 MacBeth 的 1973 年論文、Fama 和 French 的 1992 年橫截面檢驗、Shanken 的 beta 定價分析、Jagannathan 和 Wang 的漸近分析、Shanken 和 Zhou 的 beta 定價估計量比較，以及 Newey 和 West 的 HAC 協方差方法，分別討論設計中的不同部分。報告系數時，也應交代相應的假設。