Survival Analysis, Hazard Rates और Hazard Ratios

Binary outcome बताता है default हुआ या नहीं। Time-to-event data यह भी record करता है कि event कब हुआ और nondefaulted loan कितनी देर observe हुआ

Clock origination, listing, policy adoption या portfolio entry से शुरू हो सकता है। Origin बदलने से risk sets और answered question बदलते हैं

Estimator चुनने से पहले event, time scale, observation window, delayed entry और repeat events define करें। Ambiguous clocks unclear questions के precise answers देते हैं

Survival function S(t), event time T के t से बड़े होने की probability है। Events accumulate होने पर यह one से गिरती है और horizon-specific survival probabilities देती है

Hazard h(t), t तक event-free रहने पर conditional instantaneous rate है। Rate होने के कारण यह one से बड़ी हो सकती है, period probability होने के कारण नहीं

Survival time के साथ accumulated hazard reflect करती है। High short-lived hazard और moderate persistent hazard moment पर एक value share करके भी अलग curves दे सकते हैं

हर event time पर Kaplan–Meier estimator prior survival estimate को उस risk set के survive करने वाले fraction से multiply करता है

Right-censored units observe रहने तक contribute करती हैं और censoring पर risk set से बाहर जाती हैं। उन्हें event नहीं गिना जाता और forever survive assume नहीं किया जाता

Late estimates few remaining units पर टिके हो सकते हैं। Numbers at risk और confidence bands दिखाएँ ताकि long visual tail strong evidence न समझी जाए

Median survival वह first time है जब curve one-half तक पहुँचती है, लेकिन fewer than half units event experience करें तो undefined होती है

Restricted mean survival time curve को chosen horizon तक integrate करके उस window में expected event-free time express करता है

Log-rank test risk sets में observed और expected events compare करता है under equal curves null, लेकिन one p-value effect size या timing नहीं बताता

Cox model unit के hazard को unspecified baseline hazard और exponential covariate effect के product की तरह लिखता है। Partial likelihood baseline shape specify किए बिना relative effects estimate करती है

Hazard ratio 1.5 का अर्थ है proportional hazards और fixed covariates में हर compared time पर instantaneous event rate estimated 50% higher है

यह cumulative event probability में 50% increase, median time का statement या constant absolute risk difference नहीं है। Baseline risk फिर भी matter करती है

Standard Cox coefficient मानता है कि hazard ratio time के साथ constant रहे। Crossing survival curves या बदलते effects इस summary से contradict कर सकते हैं

Schoenfeld-residual patterns और time interactions nonproportionality diagnose कर सकते हैं, लेकिन nonsignificant test assumption establish नहीं करता

जब one constant ratio process को obscure करे, time-varying coefficients, stratification, flexible parametric models या horizon-specific contrasts उपयोग करें

Loan default, covenant breach, fund closure, customer churn और time to acquisition incomplete follow-up वाले natural event-time outcomes हैं

Macroeconomic conditions और account variables time के साथ बदल सकते हैं। Future information को baseline covariate की तरह उपयोग करना look-ahead bias बनाता है

Delisting, refinancing और prepayment harmless censoring के बजाय competing events हो सकते हैं। Treatment business question के अनुसार करें

Clock, event, censoring rules, entry rules, horizon, covariate timing और ties या repeated events कैसे handle किए state करें

Risk tables, useful horizons पर survival probabilities, medians या restricted means, intervals के साथ hazard ratios और assumption diagnostics दें

Best conclusion relative association को named population और horizon की absolute event probability के साथ जोड़ता है, किसी को forecast guarantee कहे बिना