Coherent Risk Measures और Dual Representation: व्याख्या

मान लें X future net worth या profit है, इसलिए बड़ा X बेहतर है और ρ(X) आज आवश्यक capital है

Losses का उपयोग करने पर कई signs उलट जाते हैं। Position convention, horizon और settlement unit बताए बिना risk number अधूरा है

Acceptance set में ρ(X) ≤ 0 वाली positions होती हैं और यह acceptable capital adequacy का equivalent geometric view देती है

यदि हर state में X ≤ Y है, तो monotonicity के अनुसार ρ(X) ≥ ρ(Y): dominated position को अधिक सुरक्षित नहीं माना जा सकता

Cash translation invariance देता है ρ(X + m) = ρ(X) - m, जहाँ m उसी numeraire और horizon का निश्चित cash है

यह property ρ को dimensionless score के बजाय capital requirement बनाती है, फिर भी funding और currency conventions महत्वपूर्ण हैं

Subadditivity की माँग है ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)

जब diversification को consistent रूप से पहचाना जाए, तो desks को मिलाने से measured risk को अलग-अलग आकलन के योग से अधिक नहीं होना चाहिए

Scenarios, liquidity horizons या nonlinear closeout rules positions के बीच अलग हों तो implementation में यह inequality विफल हो सकती है

λ ≥ 0 के लिए positive homogeneity की शर्त है ρ(λX) = λρ(X)

Subadditivity के साथ यह convexity देती है, पर मानती है कि position दोगुनी करने पर liquidity या market impact बिगड़े बिना risk भी दोगुना होगा

Convex risk measures homogeneity को शिथिल करती हैं और dual formula में penalty के माध्यम से size-dependent costs दिखा सकती हैं

उपयुक्त finite या functional-analytic conditions में ρ(X) = sup_{Q∈𝒬} E_Q[-X]

Set 𝒬 test या stress measures रखता है; position के लिए सबसे प्रतिकूल expected loss required capital तय करता है

यह representation superhedging duality जैसी है, लेकिन admissible scenario set risk policy का भाग है और उसका औचित्य देना चाहिए

Value at Risk एक quantile है और सभी distributions के लिए subadditive नहीं होती, इसलिए सामान्यतः coherent नहीं है

Expected shortfall चुनी हुई tail में losses का औसत लेती है और standard definitions तथा integrability conditions में coherent होती है

Tail level, atom treatment, interpolation, loss sign, horizon और data model किसी भी estimate को materially बदल सकते हैं

Scenario coverage, probability estimates, dependence, stale positions, nonlinear repricing और liquidity assumptions output तय करते हैं

Backtest exceptions और tail losses, छूटे factors पर stress तथा full revaluation के साथ marginal और component allocations की तुलना करें

Acceptance set या dual scenario family, data window, scaling, confidence level और उन limits को report करें जहाँ capital linear रूप से scale नहीं होता