רגרסיית Mincer–Zarnowitz: בדיקת הטיית תחזית וכיול

נניח שמודל חוזה את התשואה בתקופה הבאה, או שכלכלנית חוזה את הצמיחה ברבעון הבא. ממוצע שגיאות התחזית במדגם ההערכה יכול להיות אפס. זהו סימן נגד הערכת יתר או חסר ממוצעת ומתמשכת, אך אין בכך הוכחה שערכי התחזית נעים ביחס של אחד לאחד עם התוצאות המאוחרות. התחזיות יכולות להיות קיצוניות מדי, מכווצות מדי או מוזזות ליניארית, בעוד שגיאות חיוביות ושליליות מבטלות זו את זו.

רגרסיית MZ מציגה את השאלה השנייה באמצעות רגרסיה של התוצאה שהתממשה על התחזית. Mincer ו־Zarnowitz הציגו את המסגרת בעת הערכת תחזיות כלכליות (פרק משנת 1969). זהו כלי אבחון לתחזיות נקודתיות של יעד מספרי, במיוחד כשהמטרה היא לאמוד תוחלת מותנית תחת הפסד ריבועי. זו אינה השוואה בין שני מודלים לפי ההפסד הממוצע שלהם; לשאלה הזאת ראו את המדריך של Diebold–Mariano.

ההבחנה חשובה גם במחקר מסחר. לתחזית תשואה יכולה להיות הטיה ממוצעת קטנה אך קנה מידה שגוי; תחזית תנודתיות יכולה להיות גבוהה מדי בטווח אחד ונמוכה מדי באחר. הרגרסיה יכולה לסמן אי־התאמה ליניארית, אך התוצאה תלויה במדגם ההערכה, בהגדרת היעד, בעיתוי המידע ובשיטת ההסקה. היא אינה מוכיחה שאפשר להפוך תחזית לכלל מסחר רווחי.

לכל מועד תחזית t, התאימו תחזית (fₜ) ליעד המאוחר שהתממש (yₜ) שאותו נועדה לחזות. לכל זוג יש אופק קבוע: (fₜ) פורסמה במועד מוקדם יותר עבור היעד המאוחר (yₜ); בהמשך, האינדקס t משמש סימון מקוצר לזוגות האלה. שני הערכים צריכים להתייחס לאותו משתנה, אופק, יחידות וכלל תזמון. התאמת תחזית לתשואה של חמישה ימים לתשואה שהתממשה ביום אחד אינה בודקת כיול ליעד שנקבע.

השתמשו בתחזיות שבאמת היו זמינות בכל מועד ושמרו את ערך התחזית, גרסת המודל, גרסת הנתונים ונקודת חיתוך המידע. פרסומים ראשוניים של נתונים מאקרו־כלכליים עשויים להתעדכן בהמשך. קבעו אם הכיול ייבדק מול הפרסום הראשון או מול הערך הסופי לאחר תיקונים, והקפידו על אותה בחירה. החלפת נתונים היסטוריים בנתונים מתוקנים יכולה להעניק להערכה מידע שלא היה בידי החזאי המקורי.

בסדרות מסחר, התאימו באופן עקבי רכיבים של סגירה־לסגירה, מסחר תוך־יומי ולילה. יעדים חופפים למספר תקופות יוצרים גם תלות בין שגיאות תחזית סמוכות. חשוב להשתמש במדגם הערכה משותף: אם תחזיות של מודל אחד חסרות דווקא בימים תנודתיים, הרכב תאריכים שונה עלול להיראות כבעיית כיול. השתמשו באותו יעד ובלוח מועדי תחזית זהה לכל סדרות התחזית הנבדקות.

הבדילו בין תחזיות שנוצרו בפועל לבין ערכים מותאמים. אם אומדים את המודל על אותן תצפיות שמשמשות ברגרסיית MZ, ההתאמה בתוך המדגם עלולה להיראות כמו כיול. לצורך טענה על חיזוי עתידי, בנו רצף כרונולוגי מחוץ למדגם, אמדו מחדש בכל מועד רק בעזרת המידע שהיה זמין אז, והשאירו תקופת אישור סופית שלא שימשה לבחירת מודל או סף.

רגרסיית הרמות המקובלת היא

yₜ = α + β fₜ + uₜ

כאשר (yₜ) הוא היעד שהתממש, (fₜ) היא התחזית ו־(uₜ) הוא שארית הרגרסיה. אילוץ הכיול המשותף המקובל הוא

H₀: α = 0 וגם β = 1

אם שני האילוצים מתקיימים, הקשר הליניארי המותאם בין התוצאה לתחזית הוא קו הזהות. אין צורך בהיסט קבוע, ושינוי של יחידה אחת בתחזית תואם לשינוי של יחידה אחת בתוצאה המותאמת. אמדו את הרגרסיה ובדקו את שני האילוצים יחד באמצעות מבחן Wald או מבחן F שקול, עם אומדן שונות־משותפת שמתאים לתכנון המדגם. בדיקת החותך והמקדם בנפרד אינה שקולה לבדיקת האילוץ המשותף.

השארית (uₜ) אינה בהכרח שגיאת התחזית הגולמית (yₜ − fₜ). תחת השערת האפס המשותפת הן שוות; מחוץ לה, החותך והמקדם שאמדתם סופגים היסט ושינוי קנה מידה ליניאריים. דווחו גם על שגיאת התחזית בפועל לצד מקדמי הרגרסיה, כדי להציג הן את ההחטאה הממוצעת והן את קשר הכיול.

לעיתים מכנים את אילוץ MZ מבחן לחוסר הטיה או לרציונליות של תחזית. חשוב להגדיר את המונח. תנאי לשגיאה ממוצעת בלתי־מותנית אפס הוא (E[yₜ − fₜ] = 0); האילוצים (α = 0, β = 1) כופים קשר ליניארי מסוים ובדרך כלל הם חזקים יותר. Holden ו־Peel מראים כי בניסוח שלהם האילוץ המשותף המקובל מספיק לחוסר הטיה אך אינו הכרחי (1990). אל תשתמשו במונחים „חסר הטיה” ו„מכויל לפי MZ” כמילים נרדפות בלי לציין איזה אילוץ נבדק.

<!-- learn:illustration -->

נבחן שלוש תחזיות היפותטיות ואת התוצאות המאוחרות:

ממוצע התחזיות הוא 2, ממוצע התוצאות גם הוא 2, והממוצע של שגיאות התחזית הוא אפס. אולם הערכים מקיימים (yₜ = 1 + 0.5 fₜ), ולכן ברגרסיית MZ החותך הוא (α = 1) והמקדם הוא (β = 0.5), ולא (0, 1). השגיאות מתבטלות בממוצע אך אילוץ הכיול הליניארי נכשל: בדוגמה המלאכותית הזאת התוצאה נעה במחצית מגודל השינוי בתחזית.

זוהי המחשה חשבונית שנבנתה ידנית, לא נתוני שוק ולא מדגם להסקה. אין טעם לדווח על ערך p משמעותי או לטעון שמערכת חיזוי אמיתית נכשלה על סמך שלוש נקודות נטולות רעש. במדגם אמיתי המבחן המשותף מביא בחשבון את אי־הוודאות באמידה. סטייה גדולה במקדם יכולה להיות לא מדויקת, וסטייה קטנה עשויה להיאמד בדיוק כשיש מספיק תצפיות. הדוגמה מראה רק שהשגיאה הממוצעת ואילוצי MZ עונים על שאלות שונות.

כיול מחדש כגון (1 + 0.5 fₜ) ישחזר את שלוש התוצאות בדיוק משום שהוא נבנה מהן. אין בכך הוכחה שיעבוד בעתיד. אם כיול מחדש הוא חלק משיטת התחזית, אמדו אותו במקטע אימון מוקדם יותר והעריכו את התחזית המותאמת על נתונים מאוחרים שלא שימשו לקביעת המקדמים.

החותך (α) הוא התוצאה המותאמת כאשר התחזית אפס, ולכן משמעותו המעשית תלויה בשאלה אם אפס נמצא בטווח התחזיות או קרוב אליו. המקדם (β) מתאר עד כמה התוצאה המותאמת משתנה עם התחזית. לאחר שמביאים את החותך בחשבון, מקדם קטן מאחד פירושו שהתחזית משתנה יותר מהתוצאה המותאמת לכל יחידה; מקדם גדול מאחד פירושו ההפך. כאשר גם המקדם האחר אינו מוגבל, אף אחד מהם לבדו אינו מתאר את הקשר במלואו.

(R²) גבוה אינו מוכיח כיול. לדוגמה, לקשר נטול רעש (yₜ = 2 + 1.1 fₜ) יש (R² = 1), אך החותך והמקדם שלו אינם מקיימים את השערת האפס של MZ. (R²) מסכם כמה מהשונות מוסברת על ידי ההתאמה הליניארית; המבחן המשותף שואל אם ההתאמה היא קו הזהות. מנגד, לתחזית רועשת יכול להיות (R²) נמוך גם אם לא דוחים את האילוץ המשותף. כיול ודיוק קשורים אך הם מאפיינים נפרדים.

אל תסיקו על תוצאת הכיול רק משני ערכי t נפרדים. אומדני החותך והמקדם עשויים להיות מתואמים, ולכן סטטיסטיקת Wald/F המשותפת משתמשת בשונות־המשותפת שלהם. דווחו על α, β ואי־הוודאות שלהם, על הסטטיסטי וה־p-value המשותפים, גודל המדגם והשגיאה הגולמית הממוצעת. תרשים פיזור עם קו הזהות או השוואה לפי קבוצות עשויים לעזור; ציינו אם הקבוצות נבחרו לאחר עיון בנתונים. מבחן ליניארי עלול להחמיץ אי־כיול מעוקל, שינוי משטר או שגיאות בזנבות.

תחת הפסד ריבועי, תחזית נקודתית אופטימלית היא התוחלת המותנית של היעד לפי קבוצת המידע של החזאי. מכאן שמידע שהיה זמין בזמן התחזית לא אמור לחזות את השגיאות המאוחרות. רגרסיית MZ בודקת רק קשר ליניארי הכולל את התחזית עצמה וקבוע; היא אינה בודקת כל משתנה אחר בקבוצת המידע.

אבחון מחמיר יותר יכול להוסיף לרגרסיית שגיאת התחזית משתני מידע (zₜ) שנקבעו מראש, למשל:

yₜ − fₜ = δ₀ + δ₁ zₜ + vₜ

אם משתנה שהיה ידוע בזמן התחזית חוזה שגיאות מאוחרות, ייתכן שנותר מידע שימושי שלא נוצל. חשוב להתאים את עיתוי המידע ולבחור משתנים בזהירות; ניסוי בהרבה השהיות, מצבי שוק וטרנספורמציות יוצר בעיית חיפוש מרובה נוספת. היעדר יכולת חיזוי ברשימה קצרה אינו מוכיח יעילות מול קבוצת המידע כולה.

Zarnowitz דן בהטיה, במתאם סדרתי, בגודל המדגם ובעוצמת מבחנים בתחזיות סקר (מסמך עבודה NBER 1070, 1983). לכן תארו את MZ כאבחון של כיול ליניארי או בדיקה חלשה של יעילות, לא כהוכחה לשימוש מיטבי בכל המידע הרלוונטי. המדריך Giacomini–White עוסק בהשוואה מותנית אחרת, המבוססת על מומנטי הפסד שנבחרו.

שגיאות התחזית עשויות להיות הטרוסקדסטיות, מתואמות סדרתית או חופפות, במיוחד בתחזיות מתגלגלות לכמה צעדים. נוסחאות OLS רגילות אינן מבטיחות כשלעצמן שגיאות תקן תקפות לאילוץ המשותף. השתמשו בשיטת הסקה שמתאימה לאופק, לתלות ולתהליך האמידה, ודווחו עליה במקום להניח שהשגיאות עצמאיות. אין רוחב פס או תיקון יחיד שמתאים לכל תכנון.

אם אומדים פרמטרים, בונים התאמת כיול ובודקים אותה באותו מדגם קצר, אי־הוודאות הרגילה של הרגרסיה עשויה לא לשקף את התהליך כולו. בתחזיות מקוננות גם התפלגות האפס בהשוואות דיוק עשויה להיות לא סטנדרטית. השתמשו בתוצאה שמתאימה לאופן יצירת התחזית בפועל, או בדקו שלב כיול שהוגדר במלואו על תקופת החזקה מאוחרת. אל תנסו הרבה משוואות, יעדים ומדגמים ואז תציגו את ערך ה־p האחרון כממצא מאשש.

אי־דחייה אינה הוכחה לכיול; ייתכן שהעוצמה נמוכה או שרווח הסמך רחב. גם דחייה מותנית ביעד, במדגם, בצורה הליניארית ובאומדן השונות־המשותפת. בדקו רגישות לבחירות הערכה סבירות, חשפו את הבדיקות האלה והפרידו בינן לבין מבחן שנקבע מראש. הדבר חשוב במיוחד בתחזיות מתמידות או כשיש מעט אירועים בלתי־תלויים.

MZ בודק אילוץ כיול ליניארי בין תחזית ליעד שהתממש. מבחן Diebold–Mariano שואל אם לשתי שיטות תחזית יש אותו הפסד ממוצע לפי ציון שנבחר. תחזית אחת עשויה להיות מכוילת אך להשיג הפסד גבוה יותר, או להיות מדויקת יותר בממוצע אך להיכשל בבדיקת הכיול של MZ.

אם השאלה היא אם הדיוק משתנה לפי מידע שהיה ידוע בזמן התחזית, מבחן Giacomini–White מעריך מומנטי הפסד מותנים שנבחרו. אם חיפשתם תחזיות או כללי מסחר רבים, Model Confidence Set או White Reality Check/Hansen SPA עוסקים בבעיית בחירה אחרת בין מועמדים. אף אחד מהם אינו תחליף ליעד מוגדר היטב ולמועדי תחזית תקינים.

רגרסיית MZ הרגילה ברמות מיועדת לתחזיות נקודתיות של יעד מספרי. תחזיות קוונטיל, הסתברות, רווח או צפיפות דורשות מבחני כיול וציונים שמותאמים לסוג התחזית. תוצאה טובה בתחזית ממוצע אינה עוברת אוטומטית לתחזית סיכון זנב או להתפלגות תנודתיות.

ציינו את היעד, האופק, היחידות, מועד חיתוך המידע, תאריכי ההערכה, גרסת הנתונים והאם התחזיות נוצרו באמת מחוץ למדגם. הציגו את המשוואה, את הגדרת שגיאת התחזית ואת האילוצים שנבדקו. הבהירו אם „חסר הטיה” פירושו שגיאה ממוצעת אפס או האילוץ המשותף של MZ‏ (α = 0, β = 1).

דווחו על אומדני המקדמים, שגיאות תקן או רווחי סמך, סטטיסטיקת Wald/F המשותפת, דרגות חופש, p-value, מספר מועדי התחזית, שגיאת התחזית הממוצעת ו־(R²) תוך פירוש מוגבל. הסבירו את שיטת השונות־המשותפת או הדגימה מחדש, במיוחד כאשר האופקים חופפים או יש תלות סדרתית. חשפו את אמידת המודל, הכיול מחדש, תהליך הבחירה ואת היעדים, המדגמים או הטרנספורמציות החלופיים שנבדקו.

דיווח שקוף מאפשר להבחין בין הטיה ממוצעת, כיול ליניארי, יעילות מידע ודיוק יחסי. אלה טענות אמפיריות שונות. עמידה באילוץ רגרסיה אחד אינה מתקפת כל שימוש בתחזית, והערכת תחזית לבדה אינה ראיה לרווחיות מסחר אחרי עלויות.