שילוב תחזיות: משקולות שוות לעומת משקולות נאמדות

שילוב תחזיות לוקח שתי תחזיות או יותר לאותה כמות ומפיק תחזית אחת. אם מודלים A, B ו־C חוזים את השונות הממומשת של מחר, אפשר לחשב ממוצע של התוצאות או להקצות להן משקולות שונות. המספר המשולב הוא תחזית חדשה, לא הצבעה על המודל הצודק.

הקלטים צריכים להתייחס לאותו יעד, מועד תחזית, אופק, יחידות ונקודת חיתוך של המידע. אין לחשב ישירות ממוצע של תחזית שונות ליום אחד ושל תחזית תנודתיות לחודש רק משום ששתיהן נקראות תנודתיות. קודם מגדירים גודל ותקופה משותפים, ואז מיישרים את התחזיות.

שילוב מועיל כאשר כמה מודלים סבירים לוכדים מאפיינים שונים של סדרה או כשלא ברור איזה מודל ימשיך להיות הטוב ביותר. המודלים אינם חייבים להשתמש באלגוריתמים שונים לחלוטין. מה שקובע הוא האופן שבו השגיאות שלהם מתנהגות יחד, לא עד כמה שמותיהם שונים.

ביישום המקורי שלהם, Bates ו־Granger מצאו שבדוגמה של נוסעי חברת תעופה תחזית מורכבת יכולה להשיג שגיאה ריבועית ממוצעת נמוכה מזו של כל אחת משתי תחזיות הרכיב. הממצא מצדיק בדיקה של שילובים, אך אינו מבטיח שיפור בשוק, יעד, תקופה או פונקציית הפסד אחרים (Bates and Granger, 1969).

עבור K תחזיות, שילוב במשקולות שוות הוא

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,EW} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

כל תחזית רכיב תורמת באותו שיעור. הכלל אינו דורש מדגם אימון לאמידת המשקולות וקל לשחזר אותו. זו נקודת ייחוס שימושית גם אם השיטה הסופית תאמוד משקולות או תטיל עליהן מגבלות.

משקולות שוות אינן אומרות שכל התחזיות מדויקות באותה מידה, בלתי תלויות או חשובות כלכלית באותה מידה. הן אומרות רק שתהליך השילוב אינו אומד משקולות נפרדות על סמך ביצועי עבר. אם כל הקלטים מחמיצים את אותו מאפיין, התחזית הממוצעת עדיין עלולה לשאת את ההטיה המשותפת.

מספר שמות המודלים אינו מדד למגוון המידע. שלושה מודלים לתנודתיות עשויים להשתמש באותה סדרת תשואות, באותו גבול של סשן ובאותו מרווח דגימה, ולהחמיץ כולם את אותה תנועה לילית. ממוצע אינו מתקן את ההשמטה באופן אוטומטי. בדקו אם שגיאות מחוץ למדגם בארכיון נבדלות בדרכים מועילות; אל תניחו ששמות שונים מעידים על ראיות בלתי תלויות.

נניח ששלושה מודלים חוזים תנודתיות בסשן הבא של 12, 15 ו־20 נקודות בסיס. התחזית במשקולות שוות היא \((12+15+20)/3=15.67\) נקודות בסיס. החשבון מראה כיצד יוצרים את השילוב; נקודת תחזית אחת אינה מוכיחה דיוק או רווחיות.

בתחזיות תנודתיות בדקו אם הקלט הוא שונות או סטיית תקן. ממוצע של שלוש תחזיות שונות ולאחריו הוצאת שורש ריבועי אינו שווה בדרך כלל לממוצע תחזיות סטיית התקן. השתמשו בהגדרת היעד וביחידות שבהן ייעשה הניקוד בהמשך.

אפשר לכתוב שילוב ליניארי נאמד כך:

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,C} = \sum_{k=1}^{K} w_k \widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

תוצאה תאורטית נפוצה מניחה שהתוחלת של כל שגיאת תחזית היא אפס, שכל התחזיות מכוונות לאותו יעד וסכום המשקולות הוא אחד. נסמן את מטריצת השונות המשותפת של שגיאות תחזיות הרכיבים ב־\(\Sigma_e\). אילו המטריצה הייתה ידועה והפיכה, המשקולות ממזערות השונות תחת המגבלות האלה היו

\[ w^{*} = \frac{\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}} \]

הנוסחה היא נקודת ייחוס, לא הוראה להפוך מטריצת שונות משותפת מדגמית ורועשת. בפועל אומדים את \(\Sigma_e\) מארכיון סופי של שגיאות תחזית. קלטים מתואמים מאוד עלולים להפוך את האמידה לכמעט סינגולרית, כך ששינויים קטנים בנתונים יגרמו לשינויים גדולים במשקולות.

אם לשתי תחזיות שונות שגיאה \(\sigma^2\), שונות הממוצע שלהן במשקולות שוות היא \(\sigma^2(1+\rho)/2\), כאשר \(\rho\) הוא המתאם בין השגיאות. אם שונות כל שגיאה היא 4 והמתאם אפס, שונות הממוצע היא 2. אם המתאם הוא 0.90, השונות היא 3.8. תלות השגיאות, לא שמות המודלים, קובעת כמה שונות אפשר להפחית באמצעות ממוצע. החישוב עוסק בשונות השגיאה; אם תחזיות הרכיבים מוטות, ריבוע ההטיה מתווסף לשגיאה הריבועית הממוצעת.

גישה אחרת מריצה רגרסיה של היעד הממומש על תחזיות הרכיבים שנשמרו בארכיון, לעיתים עם חותך. Granger ו־Ramanathan דנים בשיטות רגרסיה ליניארית שבהן סכום המשקולות אינו חייב להיות אחד. החותך והמשקולות הבלתי מוגבלות יכולים לתקן הטיה ממוצעת במדגם האימון, אך גם משנים את הפרשנות: המקדמים הם התאמות תחזית שנאמדו, לא בהכרח חלקים דמויי משקולות תיק (Granger and Ramanathan, 1984).

קבעו את המגבלות לפני ההערכה. משקולות לא שליליות שסכומן אחד יוצרות ממוצע קמור שנשאר בין תחזית הרכיב הנמוכה לגבוהה ביותר. משקולות שליליות או חותך יכולים ליצור ערך מחוץ לטווח הזה. הדבר עשוי להתאים לתחזית מכוילת, אך לא בהכרח ליעד שאינו יכול להיות שלילי, כמו שונות.

נניח ששלושה מודלים נתנו תחזיות של 12, 15 ו־20 נקודות בסיס לאותו יעד בסשן הבא. כלל משקולות שנאמד ממועדי תחזית קודמים שתוצאותיהם כבר היו ידועות מקצה משקולות 0.50, 0.30 ו־0.20. התחזית המשולבת היא

\[ 0.50(12) + 0.30(15) + 0.20(20) = 14.5\ \text{נקודות בסיס} \]

המשקולות אינן שליליות וסכומן אחד, ולכן זהו שילוב קמור שנמצא בין תחזיות הרכיבים. ההבדל מתחזית המשקולות השוות, 15.67 נקודות בסיס, משקף את המשקולות שנבחרו; הוא אינו מראה שהתחזית המשוקללת טובה יותר.

יש לאמוד את המשקולות רק משגיאות תחזית שתוצאותיהן היו ידועות בזמן האמידה. בבדיקה היסטורית, תחזית של 14.5 נקודות בסיס במקור התחזית t יכולה להשתמש במידע שהיה זמין עד t, לא ביעד שהתממש ב־t+1 או אחריו.

לאחר שהיעד נעשה נצפה, שמרו את תחזיות הרכיבים, התחזית המשולבת, המדד בפועל ששימש כתחליף ואת הפסד ההערכה. חזרה על התהליך במועדי תחזית מאוחרים יותר מאפשרת להשוות כללים בתאריכים משותפים, אך אינה הופכת דוגמת חישוב אחת לראיה ליתרון מתמשך.

המשקולות הטובות ביותר כאשר מכירים את השונות המשותפת באוכלוסייה שונות מהמשקולות שנאמדו ממדגם קצר. משקולות נאמדות מוסיפות שכבה של אי־ודאות. כאשר תחזיות הרכיבים דומות, השגיאות שלהן עשויות להיות מתואמות מאוד, והאופטימיזציה עלולה לנצל הבדלים היסטוריים קטנים שלא יישארו בעתיד.

הסימולציות והיישום המאקרו־כלכלי של Kang הראו שמשקולות שילוב עלולות להיות לא יציבות ושממוצע פשוט עשוי להצליח יותר בפועל בהקשרים שנבדקו (Kang, 1986). הסקירה של Timmermann מתארת כיצד שגיאת אמידה, חוסר יציבות של מודל ותלות בין שגיאות משפיעים על שילובי תחזיות (Timmermann, 200601004-9)).

ניתוח מאוחר יותר של חידת שילוב התחזיות מדגיש את אותה נקודה לגבי מדגם סופי: תוצאות עבור משקולות “אופטימליות” קבועות לא בהכרח נשמרות כאשר גם את המשקולות צריך לאמוד (Claeskens et al., 2016). הממצאים אינם מוכיחים שמשקולות שוות תמיד מנצחות. הם מסבירים מדוע כלל מורכב יותר צריך להצדיק את עצמו בהשוואה מחוץ למדגם.

<!-- learn:illustration -->

תגובות אפשריות כוללות התחלה במשקולות שוות, הגבלת מספר הקלטים, כיווץ המשקולות הנאמדות לכיוון חלקים שווים או הטלת מגבלה פשוטה. כל בחירה מאזנת בין גמישות לרעש אמידה. בחרו לפי נתוני האימון ודווחו על הכלל; אל תבחרו בגרסה שנראית הטובה ביותר לאחר צפייה בתקופת הבדיקה הסופית.

כל תחזית רכיב שנשמרה בארכיון צריכה להיות כזו שאפשר היה להפיק במועד התחזית שצוין. שחזרו כל מודל רק עם נתונים שהיו זמינים אז, ושמרו את חותמת הזמן, גרסת המודל והגדרת היעד. ערכים מותאמים בתוך המדגם אינם תחליף לתחזיות היסטוריות אמיתיות, משום שהמודל אולי השתמש בתצפיות שעדיין לא היו ידועות.

יישרו את הארכיון לפי יעד ומקור תחזית. בכל שורה תחזיות הרכיבים צריכות להתייחס לאותו מרווח עתידי, ומידע האימון שלהן צריך להסתיים באותו מועד החלטה. הסירו תחזיות חסרות או טפלו בהן במפורש לפני אומדן שילוב; שינוי שקט של קבוצת הקלטים יכול לשנות את משמעות המשקולות מתאריך לתאריך.

הפרידו בין אומדן המשקולות להערכה הסופית. בתהליך rolling-origin אפשר לאמוד משקולות מתחזיות שתוצאותיהן נצפו לפני t, להפיק את השילוב ב־t ולתת לו ציון לאחר שהיעד נצפה. חלון מתרחב משתמש בכל המקורות הקודמים הזכאים; חלון נע שוכח מקורות ישנים יותר לפי אורך שנקבע מראש. הם עשויים להגיב אחרת לשינוי בביצועים.

אם בחרתם מודלים, טרנספורמציות, אופקי תחזית, מגבלות משקולות או פונקציות הפסד לאחר בחינת תקופת holdout, התקופה כבר הפכה לחלק מפיתוח המודל. שמרו תקופת בדיקה חדשה או השתמשו בהערכה מקוננת שבה כל שלב בחירה נשאר בתוך נתוני האימון.

השוו את כלל המשקולות השוות, כל כלל נאמד או מכווץ ואת התחזיות הבודדות באותם מקורות תחזית וכנגד אותו יעד שהתממש. דווחו על הפסד ההערכה ועל המדגם המשותף. אחרת, שיטה עשויה להיראות חזקה יותר רק משום שנבדקה בתאריכים קלים יותר או מול הגדרת יעד שונה.

פונקציית ההפסד צריכה להתאים ליעד ולשאלה. שגיאה ריבועית מענישה סטיות גדולות באופן ריבועי; שגיאה מוחלטת נותנת משקל אחר להחטאות גדולות. בתחזיות תנודתיות שנבדקות מול מדדים ממומשים רועשים, תנאי מדד התחליף וההפסד שנבחר חשובים. המדריך ל־QLIKE ושגיאה ריבועית מסביר את ההבדלים. אל תבחרו הפסד לאחר שראיתם לאיזו שיטה הוא מיטיב.

מבחן השוואת תחזיות עשוי לכמת אם פערי הפסד שנצפו תואמים לשונות דגימה. המדריך למבחן Diebold–Mariano מסביר השוואות מזווגות של הפסדי תחזיות ואת ההנחות החשובות כאשר טעויות התחזית חופפות או נותרות תלויות. תוצאת מבחן אינה מתקנת שימוש במידע עתידי ואינה מוכיחה ערך כלכלי.

אם ניסיתם קבוצות רכיבים רבות, מגבלות משקולות או כללי הפסד רבים ושמרתם את הגרסה שנראתה הטובה ביותר באותה תקופת הערכה, ההשוואה משקפת גם את החיפוש. המדריך ל־White Reality Check והמדריך להסתברות להתאמת יתר בבדיקה היסטורית דנים בבחירה מבין כללי מסחר רבים; אף אחד מהם אינו מחליף ארכיון תחזיות נקי או הערכה שתוכננה מראש.

השתמשו בתכנון אימות שמשקף את האופק המיועד. אם מקורות תחזית יומיים חוזים יעדים חופפים למספר ימים, הפסדים עוקבים עשויים להיות תלויים. התחשבו בתלות הזאת כשמחשבים אי־ודאות ואל תתייחסו למספר רב של שורות חופפות כמספר זהה של ניסויים עצמאיים.

לפני השילוב, בדקו מה כל מודל חוזה. ממוצע מותנה, שונות, קוונטיל והתפלגות הסתברות מלאה הם אובייקטים שונים. ממוצע ליניארי של תחזיות נקודתיות אינו מייצר אוטומטית תחזית צפיפות מכוילת או אומדן אמין לסיכון זנב.

בכמויות שאינן שליליות, כמו שונות, בדקו את הערכים המשולבים לפני השימוש. ממוצע קמור של תחזיות לא שליליות נשאר לא שלילי; רגרסיה עם משקולות שליליות או חותך עלולה שלא. קיטום ערכים שליליים לאפס משנה את כלל התחזית ויש להגדירו לפני ההערכה.

גם מספר התחזיות חשוב. הוספת קלטים חלשים או כמעט זהים עשויה להגדיל את מספר המשקולות המותאמות בלי להוסיף מידע חדש רב. אם הארכיון ההיסטורי קצר ביחס ל־K, העדיפו כלל שקוף ובעל מעט ממדים והראו שהמסקנה אינה תלויה ברכיב יחיד.

שילוב תחזיות של מודלים שונה משילוב פוזיציות מסחר. הפסד סטטיסטי נמוך יותר אינו מוכיח שאסטרטגיה שמשתמשת בתחזית תרוויח יותר לאחר עמלות, מרווח, החלקה, השפעת שוק ומגבלות סיכון. בניית התחזית וכלל המסחר שמשתמש בה דורשים ראיות נפרדות מחוץ למדגם.

דוח שימושי מציין את יעד התחזית, האופק, היחידות, מודלי הרכיב, זמני המקור, תקופת הארכיון וכלל הנתונים החסרים. הוא מפרט אם המשקולות שוות, נאמדות, מוגבלות, מכווצות או משתנות בזמן, וכיצד בוצע כל כוונון.

הציגו את מדד הייחוס במשקולות שוות, את השילוב שנבחר ואת התחזית הבודדת החזקה ביותר באותם תאריכי הערכה. כללו את פונקציית ההפסד, שיטת אי־הוודאות והטיפול ביעדים חופפים. אם המשקולות משתנות מאוד בין חלונות, הציגו את חוסר היציבות ולא רק את ערכיהן הסופיים.

לבסוף, הפרידו בין הטענה האמפירית לטענה על קבלת החלטות. “לשילוב הזה היה הפסד ממוצע נמוך יותר במדגם הזה ותחת פונקציית ההפסד הזאת” היא אמירה מצומצמת וניתנת לשחזור יותר מ“שילוב תחזיות משפר מסחר”. את הראשונה אפשר לבדוק מארכיון שמור; השנייה דורשת אסטרטגיה, הנחות ביצוע וראיות נפרדות.