Ratio de couverture par filtre de Kalman : régression dynamique pour le pairs trading

Un ratio de couverture fixe estime un coefficient sur un échantillon de formation puis le conserve. Un modèle dynamique traite plutôt l’ordonnée à l’origine et la pente comme des quantités latentes susceptibles d’évoluer dans le temps. Le filtre de Kalman les estime récursivement en combinant l’estimation précédente avec les informations d’une nouvelle observation.

Pour deux actifs candidats, notons \(y_t\) le logarithme du prix de l’un et \(x_t\) celui de l’autre. Une régression de long terme variable peut s’écrire \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\). Le coefficient \(\beta_t\) décrit la relation ajustée à la date \(t\) ; il ne correspond pas automatiquement à un nombre de titres, à une position neutre en dollars ou à une loi économique stable.

Cette application s’appuie sur la récursion générale de prédiction et de mise à jour d’un modèle linéaire en espace d’états. Kalman a introduit le cadre de filtrage récursif ; des travaux économétriques ultérieurs l’ont appliqué aux coefficients de régression variant dans le temps. L’utilisation d’un spread stochastique en pairs trading est une application possible, mais ses hypothèses de trading doivent être évaluées indépendamment de l’algorithme de filtrage.

Définissons le vecteur d’état et la ligne d’observation ainsi :

\[ \theta_t=\begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

L’équation d’observation est \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\). Elle indique que le logarithme du prix observé dépend de l’ordonnée à l’origine et du coefficient de couverture latents, ainsi que du bruit d’observation. Un point de départ courant suppose que les deux coefficients suivent des marches aléatoires :

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

Ici, \(Q\) est la covariance des changements de coefficients et \(R\) la variance du bruit d’observation. Avec \(Q=0\), les coefficients sont fixes dans ce modèle ; une valeur positive de \(Q\) autorise leur dérive. D’autres transitions d’état sont possibles, mais chacune formule une hypothèse différente sur le comportement de la relation.

Cette spécification simple suppose des perturbations de processus et d’observation de moyenne nulle, non corrélées dans le temps et indépendantes entre elles. Ce sont des hypothèses du modèle ; les prix observés ne les respectent pas automatiquement.

À la fin de \(t-1\), le filtre dispose d’une estimation \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) et d’une covariance \(P_{t-1|t-1}\). L’équation d’état de marche aléatoire donne les prévisions suivantes :

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

L’estimation est reconduite, tandis que l’incertitude augmente de la covariance de changement de coefficient autorisée. \(P\) décrit l’incertitude sur l’état latent de la régression dans le modèle spécifié. Ce n’est ni une prévision de perte de trading sur la paire ni une mesure complète du risque de portefeuille.

La valeur ajustée observée sur un pas est \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\). L’état antérieur est important puisqu’il a été calculé sans le nouveau \(y_t\). Si l’on calcule plutôt un résidu après avoir actualisé les coefficients avec cette même observation, la mise à jour l’a déjà rapproché de zéro.

Comme \(H_t\) contient \(x_t\), le prix explicatif courant influe à la fois sur \(S_t\) et sur le gain. Lorsque l’incertitude sur la pente est importante, des observations ayant des valeurs différentes de \(x_t\) peuvent apporter des informations différentes sur \(\beta_t\), mais la covariance entre l’ordonnée à l’origine et la pente compte aussi. Centrer ou redimensionner \(x_t\) modifie l’ordonnée à l’origine et les unités du coefficient ; il faut donc transformer ou réestimer les éléments correspondants de \(Q\) et du \(P\) initial, et non les recopier tels quels.

À l’arrivée de la nouvelle observation, son erreur de prévision sur un pas, ou innovation, vaut

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

La variance de l’innovation \(S_t\) combine l’incertitude prévue de l’état et le bruit d’observation. Le gain de Kalman et la mise à jour de l’état sont

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

Le gain répartit la nouvelle surprise entre une modification de la relation estimée et son traitement comme bruit. Un gain plus élevé signifie que le filtre s’ajuste davantage à cette observation ; il ne signifie pas que la relation est plus fiable.

Supposons qu’un filtre hypothétique prévoit \(\hat\alpha=2.0\) et \(\hat\beta=1.20\) lorsque \(x_t=50\), soit \(\hat y=62.0\). Si l’observation est \(y_t=62.8\), l’innovation vaut 0.8. Avec un gain \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\), l’ordonnée à l’origine actualisée vaut 2.064 et la pente 1.2048. Ces valeurs fictives illustrent uniquement le calcul ; elles ne constituent ni un ratio de couverture empirique ni une preuve que l’écart va se résorber.

La matrice de bruit de processus \(Q\) indique dans quelle mesure les coefficients de régression peuvent évoluer d’une observation à l’autre. Un \(Q\) plus élevé augmente généralement le gain et rend l’estimation plus réactive. Elle peut suivre plus tôt un changement réel, mais aussi courir après du bruit temporaire et produire des pondérations de couverture très variables. Un \(Q\) très faible lisse davantage l’estimation, qui peut alors réagir tardivement à une véritable rupture.

La variance du bruit d’observation \(R\) décrit la variation de \(y_t\) que la relation n’explique pas. Toutes choses égales par ailleurs, un \(R\) plus élevé conduit le filtre à moins faire confiance à chaque nouvelle observation. Ni \(Q\) ni \(R\) n’est un paramètre de réglage universel. Leur échelle dépend de l’utilisation de prix, de logarithmes de prix ou de séries normalisées, ainsi que de l’intervalle d’observation choisi.

L’analyste peut estimer les paramètres de bruit par maximum de vraisemblance ou les fixer à l’avance d’après une fenêtre d’apprentissage. Les ajuster en fonction des résultats de la période de trading finale introduirait toutefois des informations issues de cette période. L’état initial \(\hat\theta_{0|0}\) et sa covariance \(P_{0|0}\) comptent également : une initialisation incertaine peut entraîner une phase de réglage rapide au début. Indiquez l’initialisation, l’échantillon utilisé pour estimer les paramètres et la sensibilité à des solutions de rechange raisonnables.

Une estimation filtrée \(\hat\theta_{t|t}\) utilise les observations jusqu’à \(t\). Une estimation lissée à la date \(t\) peut utiliser des observations arrivées après cette date. Le lissage aide à décrire les états latents passés, mais un trader ne pouvait pas en disposer au moment de la décision historique.

Le même problème de calendrier concerne l’estimation de \(Q\) et \(R\), la sélection de la paire et les seuils de signal. S’ils sont estimés une fois sur l’échantillon complet, les estimations anciennes bénéficient d’observations futures, même si la récursion des coefficients elle-même ne va que dans un sens. Pour une simulation en temps réel, estimez les hyperparamètres à partir d’une période de formation seulement, figez-les ou actualisez-les selon un calendrier walk-forward déclaré, puis prenez chaque décision de position à partir des informations disponibles avant l’exécution.

Le moment de l’observation n’est pas celui de l’exécution. Si le cours de clôture en \(t\) est nécessaire pour calculer \(v_t\), un backtest ne peut supposer une exécution à cette même clôture que si le processus d’exécution le permet. Utilisez la prochaine cotation exécutable ou un modèle d’exécution défendable, et incluez spread, impact, frais, emprunt de titres et financement.

Dans une étude de paires, l’innovation \(v_t\) avant mise à jour est l’écart par rapport à la relation ajustée précédente. La diviser par \(\sqrt{S_t}\) donne une innovation standardisée selon le modèle. Elle permet de comparer des surprises entre des périodes où l’incertitude estimée diffère, mais n’indique ni les quantités à acheter ou vendre ni si un grand écart va se résorber.

Le résidu après mise à jour \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) est une quantité différente puisqu’il utilise l’observation courante pour réviser les coefficients. Le mélanger avec un seuil défini avant la mise à jour change le sens du signal. Définissez explicitement le spread, le calendrier et le seuil, et précisez si le coefficient est prévisionnel, filtré ou lissé.

Même si \(\beta_t\) est estimé à partir de logarithmes de prix, le convertir en ordres nécessite une règle de position distincte. Les pondérations en log-prix ne déterminent pas directement les nombres d’actions ou de contrats. Les prix, multiplicateurs de contrat, devises et contraintes du compte déterminent l’exposition en dollars ; l’ordonnée à l’origine n’est pas un actif négociable. Les coûts de rééquilibrage et la dérive de l’exposition entre actualisations de coefficients comptent également.

Un coefficient qui évolue lentement peut représenter une variation graduelle utile, mais aussi absorber une relation qui s’est rompue. Un modèle à états flexibles peut maintenir un résidu ajusté visuellement faible même en l’absence d’équilibre stable à long terme. Le filtre ne teste pas la cointégration et ne garantit pas la stationnarité de son résidu.

Le choix de la paire compte aussi. Examiner de nombreux actifs puis retenir la paire dont le résidu est le plus lisse en échantillon revient à utiliser les mêmes données pour sélectionner la paire et affirmer sa stabilité. Opérations sur titres, cours obsolètes, clôtures asynchrones, restrictions à la vente à découvert, changements de liquidité et changements de régime peuvent modifier les états estimés ou rendre une couverture théorique difficile à exécuter.

Examinez le comportement des résidus, l’incertitude de l’état, la rotation et les trajectoires des coefficients, en plus de la droite ajustée. Utilisez des périodes de réserve chronologiques et comparez-les à un ratio fixe. Après prise en compte de coûts réalistes, une estimation plus adaptable doit justifier sa rotation et son risque d’estimation supplémentaires ; une apparence lisse ne prouve pas la performance.

Précisez quelles séries de prix ou de rendements sont modélisées, leurs transformations, la fréquence d’observation, les dates de l’échantillon et l’actif placé de chaque côté de la régression. Donnez les équations d’observation et d’état, la matrice de transition, \(Q\), \(R\), l’initialisation, la méthode d’estimation et indiquez si les états présentés sont filtrés ou lissés.

Pour un résultat de trading, définissez l’innovation ou le spread utilisé comme signal, sa normalisation, l’horodatage de décision, le délai d’envoi de l’ordre, la taille de position, la règle de rééquilibrage et tous les coûts d’exécution. Décrivez la sélection des paires, les fenêtres d’apprentissage et de test, la méthode de réajustement des paramètres de bruit et le comportement de la stratégie après une rupture ou une observation manquante. Comparez coefficients fixes et variables sur les mêmes découpages chronologiques.

L’article de Kalman sur le filtrage linéaire développe le cadre récursif. Hatanaka étudie les régressions dont certains coefficients varient dans le temps. Elliott, van der Hoek et Malcolm proposent un modèle stochastique de pairs trading. Pour les sujets connexes, consultez les guides sur la prédiction et la mise à jour de Kalman, la cointégration et la corrélation en pairs trading, le test de rang de Johansen et les tests du ratio de variance.