Combiner des prévisions : poids égaux ou estimés

Combiner des prévisions consiste à réunir au moins deux prédictions d’une même quantité pour produire une seule prévision. Si les modèles A, B et C prévoient la variance réalisée de demain, leurs résultats peuvent être moyennés ou recevoir des poids différents. La valeur combinée est une nouvelle prévision, pas un vote pour désigner le modèle qui a raison.

Les entrées doivent viser la même cible, partir de la même origine, couvrir le même horizon, utiliser les mêmes unités et respecter la même coupure d’information. On ne peut pas moyenner directement une prévision de variance à un jour avec une prévision de volatilité mensuelle simplement parce que les deux portent le nom de volatilité. Définis d’abord une quantité et une période communes, puis aligne les prédictions.

La combinaison est utile lorsque plusieurs modèles plausibles captent des caractéristiques différentes d’une série ou qu’on ignore lequel restera le meilleur. Les algorithmes n’ont pas besoin d’être totalement différents. Ce qui compte, c’est le comportement conjoint de leurs erreurs, pas la différence entre leurs noms.

Dans leur application fondatrice, Bates et Granger ont montré qu’une prévision composite pouvait avoir une erreur quadratique moyenne inférieure à celle de chacune de deux prévisions prises séparément, dans leur exemple du transport aérien. Cela justifie de tester les combinaisons, sans garantir une amélioration pour un autre marché, une autre cible, période ou fonction de perte (Bates and Granger, 1969).

Pour K prévisions, la combinaison à poids égaux s’écrit

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,EW} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

Chaque composante apporte la même part. Cette règle ne nécessite pas d’échantillon d’apprentissage pour estimer les poids et se reproduit facilement. Elle reste une référence utile même si la méthode finale estime ou contraint les poids.

Des poids égaux ne signifient pas que les prévisions ont la même précision, qu’elles sont indépendantes ou qu’elles ont la même importance économique. Cela signifie seulement que la méthode ne déduit pas des poids distincts des performances passées. Si toutes les prévisions omettent le même phénomène, la moyenne peut conserver ce biais commun.

Le nombre de noms de modèles ne mesure pas la diversité de l’information. Trois modèles de volatilité peuvent utiliser les mêmes rendements, la même limite de séance et le même intervalle d’échantillonnage, tout en manquant le même mouvement nocturne. Leur moyenne ne corrige pas automatiquement cette lacune. Vérifie si les erreurs archivées hors échantillon diffèrent de façon utile ; ne suppose pas que des étiquettes distinctes apportent des preuves indépendantes.

Supposons que trois modèles prévoient une volatilité de la prochaine séance de 12, 15 et 20 points de base. La moyenne à poids égaux donne \((12+15+20)/3=15,67\) points de base. Ce calcul montre comment former le mélange ; une seule origine ne permet pas d’établir sa précision ou sa rentabilité.

Pour la volatilité, vérifie si l’entrée est une variance ou un écart-type. La moyenne de trois prévisions de variance, suivie d’une racine carrée, n’est généralement pas égale à la moyenne de leurs prévisions d’écart-type. Conserve la définition et les unités de la cible lors de l’évaluation.

Une combinaison linéaire estimée peut s’écrire

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,C} = \sum_{k=1}^{K} w_k \widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

Un résultat théorique courant suppose que l’erreur moyenne de chaque prévision est nulle, que les prévisions visent la même cible et que la somme des poids vaut un. Soit \(\Sigma_e\) la matrice de covariance des erreurs de prévision des composantes. Si elle était connue et inversible, les poids de variance minimale sous ces contraintes seraient

\[ w^{*} = \frac{\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}} \]

Cette formule est un point de référence, pas une consigne d’inverser une matrice de covariance empirique bruitée. En pratique, \(\Sigma_e\) est estimée à partir d’un historique fini d’erreurs. Des prévisions très corrélées peuvent rendre la matrice presque singulière : de petites variations des données entraînent alors de grands changements de poids.

Si deux prévisions ont la même variance d’erreur \(\sigma^2\), la variance de leur moyenne à poids égaux vaut \(\sigma^2(1+\rho)/2\), où \(\rho\) est la corrélation de leurs erreurs. Si chaque variance vaut 4 et que la corrélation est nulle, la variance de la moyenne vaut 2. Avec une corrélation de 0,90, elle vaut 3,8. La dépendance entre les erreurs, et non les noms des modèles, détermine la réduction de variance obtenue par moyenne. Ce calcul concerne la variance de l’erreur ; un biais des composantes ajoute son carré à l’erreur quadratique moyenne.

Une autre méthode consiste à régresser la cible réalisée sur les prévisions de composantes archivées, souvent avec une constante. Granger et Ramanathan étudient des régressions linéaires où les poids n’ont pas à sommer à un. La constante et les poids libres peuvent corriger le biais moyen dans l’échantillon d’apprentissage, mais changent l’interprétation : les coefficients sont des ajustements de prévision estimés, pas nécessairement des parts comparables à celles d’un portefeuille (Granger and Ramanathan, 1984).

Définis les contraintes avant l’évaluation. Des poids non négatifs dont la somme vaut un produisent une moyenne convexe, entre la prévision la plus basse et la plus élevée. Des poids négatifs ou une constante peuvent produire une valeur hors de cet intervalle. Cela peut convenir à une prévision calibrée, mais pas forcément à une cible nécessairement non négative comme la variance.

Supposons que trois modèles prévoient respectivement 12, 15 et 20 points de base pour la même cible de la prochaine séance. Une règle estimée sur d’anciennes origines dont les résultats étaient connus attribue les poids 0,50, 0,30 et 0,20. La prévision combinée est alors

\[ 0{,}50(12) + 0{,}30(15) + 0{,}20(20) = 14{,}5\ \text{points de base} \]

Les poids sont non négatifs et leur somme vaut un : il s’agit donc d’une combinaison convexe située entre les prévisions composantes. L’écart par rapport aux 15,67 points de base de la moyenne égale reflète les poids choisis ; il ne montre pas que la prévision pondérée est meilleure.

Les poids doivent avoir été estimés uniquement à partir d’erreurs dont le résultat était déjà connu au moment de l’estimation. Dans un backtest historique, la prévision de 14,5 points de base à l’origine t peut utiliser les informations disponibles jusqu’à t, mais pas la cible réalisée en t+1 ou plus tard.

Quand la cible devient observable, enregistre les prévisions composantes, la prévision combinée, le proxy réalisé et la perte d’évaluation. Répéter cette opération aux origines suivantes permet de comparer les règles aux mêmes dates. Cela ne transforme toujours pas un exemple de calcul en preuve d’un avantage durable.

Les poids optimaux calculés à partir des covariances d’erreurs de la population ne sont pas les mêmes que ceux estimés sur un petit échantillon. Les poids estimés ajoutent une autre source d’incertitude. Si les prévisions se ressemblent, leurs erreurs peuvent être très corrélées ; l’optimisation risque alors d’exploiter de petites différences historiques qui ne persisteront pas.

Les simulations et l’application macroéconomique de Kang ont montré que les poids de combinaison peuvent être instables et qu’une moyenne simple peut faire mieux en pratique dans ces contextes (Kang, 1986). La synthèse de Timmermann décrit les effets de l’erreur d’estimation, de l’instabilité des modèles et de la dépendance des erreurs sur les combinaisons (Timmermann, 200601004-9)).

Une analyse ultérieure du paradoxe des combinaisons souligne la même limite d’échantillon fini : les résultats établis pour des poids « optimaux » fixes ne se transposent pas nécessairement lorsque les poids sont eux-mêmes estimés (Claeskens et al., 2016). Ces résultats ne prouvent pas que les poids égaux gagnent toujours ; ils expliquent pourquoi une règle plus complexe doit démontrer son intérêt hors échantillon.

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Parmi les réponses possibles : commencer par des poids égaux, limiter le nombre d’entrées, ramener les poids estimés vers des parts égales par shrinkage ou imposer une contrainte simple. Chaque choix échange de la flexibilité contre du bruit d’estimation. Sélectionne-le à l’aide des données d’apprentissage et documente la règle ; ne choisis pas la version la plus attrayante après avoir regardé la période de test finale.

Chaque prévision de composante archivée doit avoir pu être produite à l’origine indiquée. Reconstitue chaque modèle avec les seules données alors disponibles et conserve l’horodatage, la version du modèle et la définition de la cible. Les valeurs ajustées dans l’échantillon ne remplacent pas de véritables prévisions historiques : le modèle a pu utiliser des observations qui n’étaient pas encore connues.

Aligne l’historique par cible et origine. Dans chaque ligne, les prévisions composantes doivent viser le même intervalle futur et utiliser des informations d’apprentissage s’arrêtant au même moment de décision. Supprime les prévisions manquantes ou traite-les explicitement avant d’estimer la combinaison ; modifier silencieusement les entrées peut donner un sens différent aux poids selon la date.

Sépare l’estimation des poids de l’évaluation finale. Une procédure à origine glissante peut estimer les poids à partir de prévisions dont les résultats étaient observés avant t, émettre la combinaison à t, puis l’évaluer une fois la cible connue. Une fenêtre croissante garde toutes les origines passées admissibles ; une fenêtre mobile oublie les plus anciennes selon une durée fixée à l’avance. Elles peuvent réagir différemment aux changements de performance.

Si les modèles, transformations, horizons, contraintes de poids ou fonctions de perte ont été sélectionnés après examen d’une période de validation, cette période fait déjà partie du développement. Garde une nouvelle période de test ou utilise une évaluation imbriquée qui maintient chaque choix dans les données d’apprentissage.

Compare la règle à poids égaux, les règles estimées ou rétractées et les prévisions individuelles aux mêmes origines, face à la même cible réalisée. Indique la perte et l’échantillon commun. Sinon, une méthode peut sembler meilleure simplement parce qu’elle a été évaluée sur des dates plus faciles ou avec une autre définition de cible.

La perte doit correspondre à la cible et à la question. L’erreur quadratique pénalise les grands écarts au carré ; l’erreur absolue pondère autrement les grands écarts. Pour des prévisions de volatilité évaluées contre des mesures réalisées bruitées, les conditions du proxy et la perte choisie comptent. Le guide QLIKE et erreur quadratique explique ces distinctions. Ne choisis pas la perte après avoir vu quelle méthode elle favorise.

Un test de comparaison de prévisions peut quantifier si les différences de pertes observées sont compatibles avec la variabilité d’échantillonnage. Le guide Diebold–Mariano traite des comparaisons appariées et des hypothèses utiles lorsque les erreurs se chevauchent ou restent dépendantes. Le résultat d’un test ne corrige pas un biais d’anticipation et ne prouve pas une valeur économique.

Si tu as essayé de nombreux ensembles de composantes, contraintes de poids ou règles de perte, puis gardé la meilleure version sur la même période, la comparaison reflète aussi cette recherche. Le guide White Reality Check et le guide sur la probabilité de surajustement d’un backtest abordent la sélection parmi de nombreuses règles de trading. Aucun ne remplace un historique propre des prévisions ou une évaluation planifiée à l’avance.

Utilise un protocole de validation correspondant à l’horizon visé. Si des origines quotidiennes prévoient des résultats de plusieurs jours qui se chevauchent, les pertes successives peuvent être dépendantes. Tiens compte de cette dépendance dans l’incertitude et ne considère pas un grand nombre de lignes chevauchantes comme autant d’expériences indépendantes.

Avant de combiner, vérifie ce que chaque modèle prévoit. La moyenne conditionnelle, la variance, un quantile et une distribution de probabilité complète sont des objets différents. Une moyenne linéaire de prévisions ponctuelles ne produit pas automatiquement une densité calibrée ni une estimation fiable du risque de queue.

Pour les quantités strictement non négatives comme la variance, vérifie les valeurs combinées avant utilisation. Une moyenne convexe de prévisions non négatives le reste ; une régression avec poids négatifs ou constante peut ne pas l’être. Tronquer les valeurs négatives à zéro change la règle de prévision et doit être défini avant l’évaluation.

Le nombre de prévisions compte aussi. Ajouter des entrées faibles ou presque identiques peut augmenter le nombre de poids ajustés sans apporter beaucoup d’informations nouvelles. Si l’historique est court par rapport à K, préfère une règle transparente et peu dimensionnelle, puis montre que le résultat ne dépend pas d’une seule composante.

Combiner des prévisions de modèles n’est pas combiner des positions de trading. Une perte statistique plus faible ne prouve pas qu’une stratégie utilisant la prévision rapportera davantage après frais, spread, glissement, impact de marché et limites de risque. La construction de la prévision et la règle de trading qui l’utilise demandent des preuves hors échantillon distinctes.

Un rapport utile précise la cible, l’horizon, les unités, les modèles composantes, les horodatages d’origine, la période de l’historique et le traitement des données manquantes. Il indique si les poids sont égaux, estimés, contraints, rétractés ou variables dans le temps, ainsi que la méthode de réglage.

Présente la référence à poids égaux, la combinaison retenue et la meilleure prévision individuelle sur les mêmes dates d’évaluation. Indique la fonction de perte, la méthode d’incertitude et le traitement des résultats chevauchants. Si les poids varient fortement entre fenêtres, montre cette instabilité plutôt que leurs seules valeurs finales.

Enfin, sépare le constat empirique de la conclusion décisionnelle. « Cette combinaison a eu une perte moyenne plus faible dans cet échantillon avec cette fonction de perte » est plus précis et reproductible que « combiner des prévisions améliore le trading ». Le premier se teste depuis un historique conservé ; le second exige une stratégie, des hypothèses d’exécution et des preuves distinctes.