Novikov- und Kazamaki-Bedingungen erklärt
Erfahren Sie, wie Novikov- und Kazamaki-Kriterien eine stochastische Exponentialfunktion von einem lokalen Martingal zu einer gültigen Dichte für einen Maßwechsel machen
Kurzantwort
Novikov und Kazamaki sind hinreichende Tests, die eine stochastische Exponentialfunktion eines stetigen lokalen Martingals auf einem angegebenen Horizont zu einem echten Martingal mit Erwartungswert eins machen. Diese Eigenschaft erlaubt es der Exponentialfunktion, eine Wahrscheinlichkeitsdichte zu definieren
Ein positives lokales Martingal kann Masse verlieren
Für ein stetiges lokales Martingal M lautet seine stochastische Exponentialfunktion Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)
Z ist ein positives lokales Martingal und daher ein Supermartingal, sodass E[Z_t] unter seinen anfänglichen Wert eins fallen kann
Geht Masse verloren, kann Z_T nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte dienen, ohne die beabsichtigte Konstruktion zu ändern
Der Maßwechsel braucht ein echtes Martingal
Eine Dichte auf endlichem Horizont erfordert Z_T ≥ 0 und E[Z_T] = 1; der Dichteprozess wird durch bedingte Erwartungen gegeben
Gleichgradige Integrierbarkeit kontrolliert die Familie über den Horizont und unterstützt konsistente Maßwechsel an Stoppzeiten
Das Aufschreiben eines Exponentialausdrucks beweist nicht, dass er auf eins normiert ist oder ein äquivalentes Maß definiert
Novikov kontrolliert die exponentielle quadratische Variation
Ein übliches Novikov-Kriterium ist E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ für einen festen endlichen Horizont T
Für M = ∫θ_s dW_s ist die Klammer ∫₀ᵀθ_s²ds. Der Test verlangt daher die exponentielle Integrierbarkeit der angesammelten quadrierten Driftverschiebung
Das Kriterium ist bequem, weil es die quadratische Variation verwendet, kann aber stärker als nötig sein
Kazamaki untersucht das Martingal selbst
Kazamaki-Kriterien kontrollieren exp(M/2), gewöhnlich über eine Submartingal- oder Gleichgradigkeitsbedingung an Stoppzeiten
Sie können die Martingaleigenschaft in Fällen nachweisen, in denen das exponentielle Moment der quadratischen Variation nach Novikov unendlich ist
Die genaue Aussage variiert je nach Horizont und Theoremversion. Das zitierte Kriterium und die Vorzeichenkonvention sollten daher explizit angegeben werden
Das Scheitern eines Kriteriums ist kein Scheitern der Dichte
Beide Bedingungen sind hinreichende Tests und weder Definitionen noch im Allgemeinen notwendige Bedingungen
Wenn Novikov scheitert, können Kazamaki, beschränkte mittlere Oszillation, direkte Erwartungsberechnungen oder modellspezifische Argumente trotzdem funktionieren
Wenn jeder bequeme Test scheitert, darf man die Martingaleigenschaft nicht einfach annehmen; ein striktes lokales Martingal bleibt möglich
Das Ergebnis eins ist für das Finanzwesen entscheidend
Driftänderungen nach Girsanov und risikoneutrale Dichten verwenden häufig eine stochastische Exponentialfunktion, die aus dem Marktpreis des Risikos aufgebaut wird
Ist die Dichte ein striktes lokales statt eines echten Martingals, kann das vorgeschlagene Bewertungsmaß fehlerhaft oder über verschiedene Horizonte hinweg inkonsistent sein
Dieses Problem tritt auch bei Likelihood-Ratio-Schätzern, Filtern, dualer Nutzentheorie und Modellen mit blasenähnlichem Verhalten auf
Horizont, Sprünge und Lokalisierung verändern den Test
Eine Bedingung, die für jedes endliche T gilt, muss auf einem unendlichen Horizont keine gleichgradige Integrierbarkeit liefern
Lokalisierung beweist lokale Identitäten, stellt aber beim Grenzübergang die fehlende Erwartung nicht von selbst wieder her
Exponentialfunktionen mit Sprüngen brauchen sprungspezifische Positivitäts- und Integrabilitätskriterien; die stetige Novikov-Formel darf nicht unverändert übertragen werden
Häufige Fragen
Was ist die Novikov-Bedingung?
Für ein stetiges lokales Martingal M auf [0,T] verlangt eine übliche Form, dass E[exp(½⟨M⟩_T)] endlich ist
Ist die Novikov-Bedingung notwendig?
Nein. Sie ist hinreichend, und eine stochastische Exponentialfunktion kann auch dann ein echtes Martingal sein, wenn das Novikov-Moment divergiert
Ist Kazamaki schwächer als Novikov?
Kazamaki kann Fälle bestätigen, die Novikov verfehlt, wobei der genaue Vergleich von den angegebenen Versionen und Annahmen abhängt
Warum sind diese Bedingungen bei der Optionsbewertung wichtig?
Sie helfen zu beweisen, dass eine für Girsanov verwendete Exponentialfunktion Erwartungswert eins hat und das beabsichtigte Bewertungsmaß definiert