Kolmogorov ফরোয়ার্ড এবং ব্যাকওয়ার্ড সমীকরণ ব্যাখ্যা করা হয়েছে

একটি মার্কভ প্রক্রিয়া একটি ট্রানজিশন অপারেটর ব্যবহার করে P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x] ভবিষ্যতের ফাংশনকে বর্তমান অবস্থায় ম্যাপ করতে

চ্যাপম্যান-কোলমোগোরভ সম্পর্ক P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} বলে যে একটি মধ্যবর্তী সময় সন্নিবেশ করালে রূপান্তর পরিবর্তন হয় না

ফরোয়ার্ড এবং পশ্চাদগামী সমীকরণ হল এই একই সেমিগ্রুপ বা দুই-প্যারামিটার বিবর্তন পরিবারের ডিফারেনশিয়াল মতামত

dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t এর জন্য, জেনারেটর হল L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ a = σ² সহ

এটি রাষ্ট্রের পরীক্ষার ফাংশনগুলির উপর কাজ করে এবং তাদের তাত্ক্ষণিক শর্তাধীন পরিবর্তনের সংক্ষিপ্তসার করে

জেনারেটর প্রক্রিয়া, রাষ্ট্রীয় স্থান, ডোমেইন এবং সীমানা আচরণের উপর নির্ভর করে; একটি আনুষ্ঠানিক ডিফারেনশিয়াল এক্সপ্রেশন একাই অসম্পূর্ণ

টার্মিনাল ফাংশনের জন্য g, u(s,x) = E[g(X_t) | সংজ্ঞায়িত করুন X_s=x] s ≤ t সহ

উপযুক্ত নিয়মিততার অধীনে, u সন্তুষ্ট ∂_s u + L_su = 0 এবং টার্মিনাল অবস্থা u(t,x) = g(x)

এটি পশ্চাদমুখী কারণ এন্ডপয়েন্ট ফাংশন স্থির এবং কন্ডিশনার সময় বর্তমানের দিকে চলে যায়

সংলগ্ন L_t†কে ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় সীমানা পদগুলি পরিচালনা করার পরে

এক-মাত্রিক বিস্তারের জন্য, L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)

অ্যাডজয়েন্ট জেনারেটরকে পরীক্ষার ফাংশন থেকে ঘনত্বে স্থানান্তর করে, ডেরিভেটিভগুলিকে বিপরীত করে যেখানে অংশগুলির দ্বারা একীকরণের প্রয়োজন হয়

যদি ρ(t,x) রাষ্ট্রীয় ঘনত্ব হয়, তাহলে এটি তার প্রাথমিক বন্টন থেকে ∂_tρ = L_t†ρ কে সন্তুষ্ট করে

একটি ট্রানজিশন ডেনসিটিতে প্রয়োগ করা একই সমীকরণটি তার গন্তব্য পরিবর্তনশীলকে বিকশিত করে যখন শুরুর বিন্দুকে স্থির ধরে রাখে

স্বাভাবিককরণ, অ-নেতিবাচকতা, প্রবাহ এবং সীমানা শর্ত নির্ধারণ করে যে একটি আনুষ্ঠানিক সমাধান একটি বৈধ সম্ভাব্যতা আইন কিনা

ডেরিভেটিভ ভ্যালুয়েশন সাধারণত টার্মিনাল পেঅফ থেকে একটি পশ্চাদগামী সমীকরণ সমাধান করে, ডিসকাউন্টিং একটি হত্যা শব্দ যোগ করে

বন্টন পূর্বাভাস, এক্সপোজার প্রোফাইল, ঘনত্ব ক্রমাঙ্কন, এবং কিছু ঝুঁকি গণনা আজকের রাষ্ট্রীয় আইন থেকে ফরোয়ার্ড সমীকরণ সমাধান করে

দুটি আউটপুট ইন্টিগ্রেশনের মাধ্যমে একমত হওয়া উচিত: একটি পশ্চাদমুখী মান ফরোয়ার্ড ট্রানজিশন ঘনত্বের বিপরীতে সমন্বিত ভবিষ্যতের পরিশোধের সমান

শোষণ, প্রতিফলন, প্রবেশদ্বার, এবং দুর্গম সীমানা বিভিন্ন মান এবং সম্ভাব্যতা-প্রবাহ শর্ত আরোপ করে

গ্রিড প্রসারিত হওয়ার সাথে সাথে সংরক্ষণ বা ভর, ইতিবাচকতা, টার্মিনাল এবং প্রাথমিক ডেটা, সংলগ্ন বিচক্ষণতা এবং অভিসারী ক্ষতি পরীক্ষা করুন

একটি স্বাধীনভাবে বাস্তবায়িত মন্টে কার্লো অনুমান PDE সমাধানকারীর মধ্যে সাইন, ড্রিফ্ট, সীমানা এবং সময়-নির্দেশ ত্রুটি প্রকাশ করতে পারে