VaR ও Expected Shortfall-এর যৌথ স্কোর: Fissler–Ziegel ব্যাখ্যা

L_t-কে ক্ষতি ধরুন, অর্থাৎ মান যত বড় ক্ষতি তত বেশি; c হলো আস্থার স্তর, যেমন 97.5%। শর্তাধীন ক্ষতির কোয়ান্টাইল v(c,t) হলো সবচেয়ে ছোট x, যেখানে t−1 পর্যন্ত তথ্যের ভিত্তিতে F(L_t ≤ x) অন্তত c হয়। ক্ষতির ঊর্ধ্ব টেইলে ES হলো e(c,t) = 1/(1−c) গুণ c থেকে 1 পর্যন্ত v(u,t)-এর সমাকলন, যদি টেইল গড় সসীম হয়। অবিচ্ছিন্ন বণ্টনে এটি VaR সীমার ওপরে থাকা ক্ষতির গড়ের সমান। সীমায় সম্ভাবনার বিন্দু-ভর থাকলে কোয়ান্টাইলের সমাকলন সংজ্ঞাটি ওই ভরের প্রয়োজনীয় অংশটুকুই ধরে।

স্কোরটি পূর্বাভাসের সংজ্ঞার সঙ্গে মিলতে হবে। কিছু গবেষণায় রিটার্নের নিম্ন টেইল ধরে VaR ও ES সংজ্ঞায়িত করা হয়, ফলে মানগুলো প্রায়ই ঋণাত্মক হয় এবং টেইল সম্ভাবনা α = 1−c লেখা হয়। ধনাত্মক ক্ষতির ক্ষেত্রে একই ঝুঁকি ঊর্ধ্ব টেইলে পড়ে এবং ES, VaR-এর চেয়ে কম হয় না। রিটার্ন ও ক্ষতির চিহ্ন মিশিয়ে ফেললে অসমতা ও ব্যতিক্রম সূচক উল্টে যেতে পারে। চিহ্ন, আস্থার স্তর, সময়সীমা এবং ফল প্রকাশের আগে জানা তথ্য লিখে রাখুন।

কোয়ান্টাইলের জন্য কঠোরভাবে সঙ্গতিপূর্ণ pinball স্কোর আছে। ক্ষতি L ও তার c-কোয়ান্টাইল v-এর জন্য একটি VaR স্কোর হলো S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L)। কোয়ান্টাইলের প্রচলিত শর্তে প্রত্যাশিত স্কোর লক্ষ্য কোয়ান্টাইলেই সর্বনিম্ন হয়। তাই পরে দেখা ফল দিয়ে VaR-কে একাই মূল্যায়ন করা যায়।

ES-এর জন্য ব্যবস্থাপনা-ঝুঁকিতে ব্যবহৃত বিস্তৃত ক্ষতি-বণ্টনের শ্রেণিতে একে একা elicitable করে এমন সমতুল্য কঠোরভাবে সঙ্গতিপূর্ণ স্কোর নেই। বক্তব্যটির নির্দিষ্ট সীমা আছে: এখানে এমন স্বতন্ত্র পয়েন্ট পূর্বাভাস বোঝানো হয়েছে যার প্রত্যাশিত স্কোর এককভাবে প্রকৃত ES-এ সর্বনিম্ন হয়। এর মানে ES অর্থহীন বা তুলনা ও পরীক্ষা অসম্ভব নয়।

Fissler ও Ziegel মূল পার্থক্যটি দেখিয়েছেন: ES এককভাবে এ অর্থে elicitable নয়, তবে যথাযথ নিয়মিততা ও মোমেন্ট শর্তে (VaR, ES) জোড়াটি যৌথভাবে elicitable। তাঁদের গবেষণায় কঠোরভাবে সঙ্গতিপূর্ণ স্কোরের শর্ত আলোচনা করা হয়েছে (Fissler and Ziegel, 2016)। যৌথ elicitability মানে একটি স্কোর ফাংশন একই সঙ্গে দুই পূর্বাভাস ও বাস্তব ফল ব্যবহার করে। যেকোনো দুই ক্ষতির যোগফলকে ES-এর সঠিক স্কোর বলা যায় না।

আস্থার স্তর c-তে একটি গ্রহণযোগ্য যৌথ স্কোরকে S_c(v,e;L) লিখি। কঠোর সঙ্গতি মানে লক্ষ্য বণ্টনে প্রত্যাশিত স্কোর সঠিক জোড়ায় সর্বনিম্ন: (VaR_c, ES_c) = (v,e)-এর ওপর E[S_c(v,e;L)]-এর arg min। প্রাসঙ্গিক শর্তে এই সর্বনিম্ন বিন্দু একটিই। স্কোরটি VaR সীমা অতিক্রম হয়েছে কি না, বাস্তবে টেইল ক্ষতি কত ছিল এবং ES পূর্বাভাস কী বলেছিল—এসব একত্র করে। ধনাত্মক ক্ষতির সংজ্ঞায় ES, VaR-এর নিচে থাকা উচিত নয়।

Fissler ও Ziegel একটিমাত্র বাধ্যতামূলক সূত্র নয়, বরং স্কোরের একটি শ্রেণি বর্ণনা করেছেন। Patton, Ziegel ও Chen যৌথ গতিশীল VaR–ES মডেল ও পূর্বাভাস তুলনায় এই ফল ব্যবহার করেন (Patton, Ziegel, and Chen, 2019)। প্রচলিত FZ0 স্কোরের একটি রূপ নিম্ন-টেইল রিটার্নের জন্য: Y = −L, α = 1−c এবং ঋণাত্মক পূর্বাভাস e ≤ v < 0: S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1। এই সূত্র রিটার্নের চিহ্নসংজ্ঞা ও উল্লিখিত অনুমানের ওপর নির্ভরশীল। ধনাত্মক ক্ষতির তথ্যতে একে অপরিবর্তিতভাবে ব্যবহার করবেন না, এবং সব তথ্যের জন্য একে সর্বোত্তমও ভাববেন না। বেছে নেওয়া নিয়ম ও তার শর্ত স্পষ্ট করুন।

মডেল m-এর জন্য প্রতিটি পূর্বাভাস-ফল জোড়ায় S_c(v_hat(m,t),e_hat(m,t);L_t) হিসাব করে Tটি পর্যবেক্ষণের গড় নিন। একই গ্রহণযোগ্য স্কোর, লক্ষ্য, তারিখ ও সংজ্ঞা ব্যবহার করলে কম গড় সেই নিয়মে তুলনামূলক ভালো ফল বোঝায়। স্কোরের মান কোনো সম্ভাবনা, VaR-এর টাকার অঙ্ক বা ভবিষ্যৎ ক্ষতির পূর্বাভাস নয়; এর স্কেল স্কোর ফাংশনের ওপর নির্ভর করে।

A ও B-কে জোড়ায় তুলতে d_t = S_A,t − S_B,t হিসাব করুন। গড় ব্যবধান ঋণাত্মক হলে নির্বাচিত স্কোরে A এগিয়ে। একই বাস্তব ফলের বিপরীতে দুই পূর্বাভাস যাচাই হওয়ায় এই paired difference আলাদা করে গোল করা গড়ের তুলনায় বেশি তথ্য দেয়। তবে টেইল পর্যবেক্ষণ কম হলে ব্যবধানটিও অনিশ্চিত হতে পারে।

<!-- learn:illustration -->

একই পূর্বাভাসের সময়, একই পোর্টফোলিও বা লক্ষ্য, সময়সীমা, আস্থার স্তর ও তথ্য-সংস্করণ তুলনা করুন। ফল দেখার আগে পূর্বাভাস সংরক্ষিত থাকতে হবে। সময়সীমা ওভারল্যাপ করলে বা স্কোর ব্যবধানে সময়গত নির্ভরতা থাকলে অনিশ্চয়তার হিসাবেও তা ধরতে হবে। উপযুক্ত standard error বা interval দিন; ছোট কাঁচা ব্যবধান নিজে থেকেই নির্ভরযোগ্য জয় নয়।

VaR-এর pinball ক্ষতির সঙ্গে ES পূর্বাভাস ও কোনো রেফারেন্স মানের পরম ত্রুটি যোগ করা স্বাভাবিক মনে হতে পারে। কিন্তু রেফারেন্স মানটি নিজেই অনুপযুক্ত হতে পারে, এবং দ্বিতীয় অংশের প্রত্যাশিত মান প্রকৃত ES-এ সর্বনিম্ন নাও হতে পারে। ইচ্ছেমতো ওজন দেওয়া যোগফল যৌথ সঙ্গতি নিশ্চিত করে না। FZ স্কোরের গঠন VaR–ES জোড়াকে একসঙ্গে মূল্যায়নের জন্য তৈরি।

Fissler–Ziegel শ্রেণিতে বিভিন্ন স্কেল ও জোরের একাধিক স্কোর আছে। আলাদা স্কোর ফাংশনের গড় সরাসরি তুলনীয় নয়। Patton, Ziegel ও Chen অতিরিক্ত চিহ্ন-শর্তে FZ0-এর কিছু স্কেল বৈশিষ্ট্য দেখিয়েছেন; এতে FZ0 সব ক্ষেত্রে শ্রেষ্ঠ হয়ে যায় না। ফল দেখার আগে স্কোর বেছে নিয়ে তা নথিভুক্ত করুন।

পূর্বাভাসের জোড়াটিও সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়া দরকার। ES-এর একটি যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা তার VaR সঙ্গীর সঙ্গে বিরোধ করলে খারাপ স্কোর পেতে পারে। আবার ভালো যৌথ স্কোর পুরো শর্তাধীন বণ্টনের সঠিকতা প্রমাণ করে না। নির্দিষ্ট স্কোর ও মূল্যায়ন নকশার অধীনে নির্দিষ্ট VaR–ES লক্ষ্যই এখানে বিচার করা হয়।

VaR ব্যতিক্রম সূচক দ্বিমাত্রিক: L_t পূর্বাভাস VaR ছাড়ালে I_t = 1, নইলে 0। দুই মডেলের ব্যতিক্রমের সংখ্যা ও তারিখ একই হতে পারে, কিন্তু সীমার ওপরে ক্ষতির পরিমাণ অনেক আলাদা হতে পারে। চারটি ব্যতিক্রমের হিসাব থেকে বোঝা যায় না এগুলো সামান্য ছিল, নাকি একটি ক্ষতি টেইলের অনেক গভীরে গিয়েছিল। শুধু গণনা ES যে পরিমাণ-তথ্য যোগ করে তা বাদ দেয়।

যৌথ স্কোর VaR ও ES পূর্বাভাসের সঙ্গে বাস্তব ক্ষতি ব্যবহার করে, তাই ব্যতিক্রম সংখ্যার বাইরে টেইল ক্ষতির আকারও ফল বদলাতে পারে। কোন পর্যবেক্ষণ কতটা প্রভাব ফেলবে তা নির্বাচিত স্কোর ফাংশন নির্ধারণ করে। একটি চরম ঘটনা দেখে বিজয়ী ঠিক করবেন না; পুরো অভিন্ন নমুনায় স্কোর হিসাব করে সংবেদনশীলতা দেখুন।

স্কোরভিত্তিক পূর্বাভাস তুলনা ও VaR calibration test ভিন্ন প্রশ্নের উত্তর দেয়। প্রথমটি নির্দিষ্ট নিয়মে পূর্বাভাস জোড়াকে ক্রম দেয়। VaR ব্যতিক্রম পরীক্ষা সীমা অতিক্রমের হার বা সময়গত ধরন দেখে। স্কোরের ক্রম পূর্ণ calibration-এর সনদ নয়।

Kupiec পরীক্ষা VaR ব্যতিক্রমের সংখ্যা লক্ষ্য হারের সঙ্গে তুলনা করে; Christoffersen-এর সম্প্রসারণ নির্ভরতা বা গুচ্ছ হওয়াও দেখে। প্রতিটি ফলকে ব্যতিক্রম/ব্যতিক্রম নয় হিসেবে সংকুচিত করায় এগুলো সীমার ওপরে ক্ষতির মাত্রা মাপে না, সরাসরি ES পূর্বাভাসও যাচাই করে না। VaR ও Expected Shortfall নির্দেশিকা দুটি ঝুঁকি মাপের ভিন্ন তথ্য ব্যাখ্যা করে।

Acerbi ও Szekely nonparametric ES backtest প্রস্তাব করেন এবং বলেন, elicitability মডেল নির্বাচনের জন্য গুরুত্বপূর্ণ হলেও ঝুঁকি মাপ পরীক্ষা করার পূর্বশর্ত নয় (Acerbi and Szekely, 2014)। Bayer ও Dimitriadis যৌথ VaR–ES কাঠামো ব্যবহার করে regression-based ES backtest তৈরি করেন; বিভিন্ন পদ্ধতির নিজস্ব অনুমান ও covariance শর্ত আছে (Bayer and Dimitriadis, 2022)। স্কোর র‍্যাঙ্কিং নির্দিষ্ট ব্যাকটেস্টের বিকল্প নয়। আবার null প্রত্যাখ্যান না হওয়াও পূর্বাভাস জোড়ার সঠিকতা প্রমাণ করে না।

স্কোর ব্যবধান d_t-এর ধারাটি একটি সময়শ্রেণি। পরস্পর-ওভারল্যাপ না করা এক-ধাপ পূর্বাভাস ও উপযুক্ত dependence assumption থাকলে গড় ব্যবধানের paired test বিবেচনা করা যায়। সিরিয়াল নির্ভরতা বা ওভারল্যাপিং horizon থাকলে long-run variance বা উপযুক্ত block resampling-এর মতো নির্ভরতা-সচেতন পদ্ধতি ব্যবহার করুন। শুধু p-value নয়, পদ্ধতি ও তার bandwidth বা block নিয়মও জানান।

ফল দেখার আগে স্কোর, টেইল স্তর, সময়সীমা, মূল্যায়ন কাল ও মডেলের সেট স্থির করুন। অনেক স্কোর, উইন্ডো, পোর্টফোলিও ও পূর্বাভাস ভ্যারিয়েন্ট চেষ্টা করে শুধু সর্বনিম্ন স্কোর প্রকাশ করলে selection problem তৈরি হয়। সম্ভব হলে মডেল বাছাইয়ে ব্যবহার না করা পরবর্তী মূল্যায়ন সময় রাখুন এবং অনুসন্ধান বর্ণনা করুন। প্রচলিত standard error এ ধরনের নির্বাচন স্বয়ংক্রিয়ভাবে সংশোধন করে না।

গড় স্কোর ও paired difference-এর সঙ্গে অনিশ্চয়তা, স্কোরের সংজ্ঞা, চিহ্ন ও convention, সাধারণ out-of-sample তারিখ এবং টেইল পর্যবেক্ষণের সংখ্যা প্রকাশ করুন। যুক্তিযুক্ত স্কোর বা সময়কাল বদলালে র‍্যাঙ্কিং পাল্টালে সে sensitivity-ও দেখান।

আস্থার স্তর বেশি হলে টেইল পর্যবেক্ষণ কম থাকে, তাই দীর্ঘ সময়শ্রেণিতেও মডেল র‍্যাঙ্কিং অস্থির হতে পারে। শর্তাধীন heteroskedasticity, regime change, overlap করা return, estimation uncertainty, তথ্যের ভুল এবং পোর্টফোলিও পরিবর্তনও স্কোর ব্যবধান বদলাতে পারে। যৌথ elicitability এসব সমস্যার সমাধান নয়; গাণিতিক শর্তে উপযুক্ত স্কোর শ্রেণি দেয়।

বাস্তব ক্ষতি ও পূর্বাভাস একই পোর্টফোলিও, সময়সীমা, মূল্যায়ন পদ্ধতি ও চিহ্ন ব্যবহার করছে কি না দেখুন। VaR ও ES-কে একই টেইল সম্ভাবনা বোঝাতে হবে। পূর্বাভাস ফল জানার আগে তৈরি হয়েছিল কি না এবং স্কোর বণ্টন, মোমেন্ট ও চিহ্নের শর্ত মানে কি না নিশ্চিত করুন। নমুনার দৈর্ঘ্য, টেইল পর্যবেক্ষণ, স্কোরের সূত্র, অনিশ্চয়তার পদ্ধতি এবং মডেল বা স্কোর খোঁজার প্রক্রিয়া জানান। সিদ্ধান্ত শুধু এই নকশার জন্য প্রযোজ্য।

নির্দিষ্ট নিয়মে কম যৌথ স্কোর তুলনামূলক ভালো পূর্বাভাস-ক্ষমতার প্রমাণ। এটি প্রমাণ করে না যে মডেল সব টেইল ঘটনা ধরেছে, ঝুঁকি অনুমান নিরাপদ বা ভবিষ্যৎ নমুনার মতো হবে। এই নিবন্ধ পরিসংখ্যান পদ্ধতি ব্যাখ্যা করে; বিনিয়োগ পরামর্শ নয়।