قانون الأعداد الكبيرة مقابل مبرهنة الحد المركزي

للمشاهدات X_1,…,X_n ذات المتوسط μ، يكون متوسط العينة X̄_n=n^(−1)Σ_iX_i

يسأل قانون الأعداد الكبيرة عما إذا كان X̄_n يقترب من μ مع نمو n، بينما تسأل مبرهنة الحد المركزي عن التوزيع الحدي لفارق مقيس مثل √n(X̄_n−μ)

لا يعطي التقارب إلى القيمة الصحيحة وحده معدل خطأ أو شكلا أو فترة ثقة أو تقريبا مفيدا لعينة منتهية

ينص قانون الأعداد الكبيرة الضعيف على أن P(|X̄_n−μ|>ε)→0 لكل ε>0 في ظل شروطه المعلنة

ويقول إن احتمال خطأ ثابت الحجم يتلاشى، لا إن كل مسار متحقق سيبقى قريبا إلى الأبد في النهاية

بالنسبة إلى المشاهدات iid، يكفي التوقع المنتهي لقانون ضعيف واسع، بينما تفترض براهين التباين البسيطة غالبا تباينا منتهيا

ينص قانون الأعداد الكبيرة القوي على أن X̄_n→μ تقريبا بالتأكيد، أي إن التقارب يحدث لكل النتائج خارج مجموعة واحدة احتمالها صفر

يفضي التقارب شبه المؤكد إلى التقارب في الاحتمال، لكن العكس غير صحيح من دون بنية إضافية

يظل القانون القوي تقاربيا ولا يحدد مقدار n اللازم لحد تحمل معين في قرار محدد

للمتغيرات iid ذات التباين الموجب المنتهي σ²، يتقارب √n(X̄_n−μ)/σ في التوزيع إلى N(0,1)

يمنع العامل √n الخطأ المتناقص من الانهيار إلى الصفر، ويكشف شكله الحدي غير المنحل

قد يظل قانون الأعداد الكبيرة صحيحا عندما تفشل مبرهنة الحد المركزي الكلاسيكية، بما في ذلك أوضاع الذيل الثقيل حيث يوجد المتوسط ولا يوجد التباين

قد تحقق العمليات الساكنة الإرغودية قانونا للأعداد الكبيرة، بينما تحتاج مبرهنة الحد المركزي أيضا إلى ضبط كاف للاعتماد والتقلبات

قد تغير السلاسل المالية المتوسط والتباين والتعرض والسيولة والنظام، لذلك لا يلزم أن يتصرف سجل طويل واحد مثل سحوبات متكررة من قانون واحد

قد تضيف مشاهدات أكثر من عنقود أزمة واحد أو نظام قديم أقل من المعلومات الفعالة التي يوحي بها عدد الصفوف

يمكن أن يستقر متوسط الصدمة الخاصة عبر عدد كبير من المراكز ضعيفة الاعتماد بما يعكس أثرا شبيها بقانون الأعداد الكبيرة

لا تختفي العوامل المشتركة والاعتماد الذُّيلي والأوزان المركزة والتخلف عن السداد المترابط لمجرد أن المحفظة تحتفظ بأسماء كثيرة

وبالمثل، لا يضمن متوسط عائد طويل أن يكشف عائدا متوقعا دائما عندما تتغير مجموعة الفرص نفسها

ارسم المتوسطات الجارية وتقديرات العينات الفرعية، ثم افحص الاعتماد والانقطاعات الهيكلية وعزوم الذيل وحجم العينة الفعال

استخدم خطأ معياريا تبرره مبرهنة الحد المركزي ذات الصلة أو مخطط إعادة المعاينة بدلا من اعتبار تقارب المتوسط تقديرا لعدم اليقين

اذكر الكمية المقدرة وافتراضات التقارب والأفق ونطاقات الخطأ والحساسية للنوافذ أو الأنظمة قبل الاحتجاج بأي من المبرهنتين