التقييم المشترك لـ VaR وES: شرح منهج فيسلر–تسيغل

لتكن L_t خسارة، بحيث تعني القيمة الأكبر خسارة أسوأ، وليكن c مستوى الثقة، مثل 97.5%. الكمية الشرطية للخسارة v(c,t) هي أصغر x يحقق فيه F(L_t ≤ x | المعلومات المتاحة حتى t−1) المستوى c. في الذيل العلوي للخسائر، تساوي ES مقدار 1/(1−c) مضروبًا في تكامل v(u,t) من c إلى 1، بشرط أن يكون متوسط الذيل محدودًا. في التوزيع المستمر تعادل متوسط الخسارة فوق عتبة VaR. وإذا تركز بعض الاحتمال عند العتبة، فإن تعريف تكامل الكميات يأخذ الجزء اللازم فقط من هذه الكتلة.

يجب أن تتطابق الدرجة مع اصطلاح التوقعات. تستخدم بعض الدراسات العوائد في الذيل السفلي، وغالبًا تكون قيم VaR وES سالبة، ويُرمز إلى احتمال الذيل بـ α = 1−c. أما مع الخسائر الموجبة فيكون الذيل علويًا ولا تقل ES عن VaR. قد يؤدي خلط اصطلاح العوائد والخسائر إلى عكس المتباينات ومؤشرات الاستثناء. سجّل الإشارة ومستوى الثقة والأفق والمعلومات المتاحة قبل ظهور النتيجة.

يمكن تقييم الكمية المئينية بدرجة pinball متسقة تمامًا. لخسارة L وكمية c يرمز إليها v، إحدى درجات VaR هي S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L). وفق الشروط المعتادة للكميات المئينية، يكون متوسط الدرجة في أدنى مستوياته عند الكمية المستهدفة. لذلك يمكن تقييم VaR وحدها بمقارنة التوقعات بالمشاهدات اللاحقة.

لا توجد درجة متسقة تمامًا مماثلة تستخلص ES وحدها ضمن فئات واسعة من توزيعات الخسائر المستخدمة في إدارة المخاطر. ولهذا التصريح نطاق محدد: المقصود نقطة توقع مستقلة يقل متوسط درجتها على نحو فريد عند ES. لا يعني ذلك أن ES عديمة الفائدة أو يستحيل مقارنتها أو اختبارها.

يوضح فيسلر وتسيغل الفرق الأساسي: لا يمكن استخلاص ES منفردة بهذا المعنى، بينما يمكن استخلاص الزوج (VaR, ES) معًا في ظل شروط معتدلة للانتظام والعزوم. تحلل دراستهما شروط الدرجات المتسقة تمامًا (Fissler and Ziegel, 2016). تعني القابلية للاستخلاص المشترك أن دالة واحدة تستخدم التوقعين والنتيجة المحققة معًا. ولا يكفي جمع أي خسارتين منفردتين لإنشاء درجة صحيحة لـ ES.

لنرمز إلى درجة مشتركة مسموح بها عند المستوى c بالرمز S_c(v,e;L). تعني الاتساق التام أن متوسط الدرجة في ظل التوزيع المستهدف يبلغ أدنى قيمة عند الزوج الصحيح: (VaR_c, ES_c) = arg min على (v,e) لـ E[S_c(v,e;L)]. ويكون الحد الأدنى وحيدًا عند توافر الشروط المناسبة. تجمع الدرجة بين معلومات تجاوز حد VaR ومقدار الخسارة المحققة في الذيل وتوقع ES. ومع الخسائر الموجبة يجب ألا تقل ES عن VaR.

يصف فيسلر وتسيغل فئة من الدرجات، لا معادلة إلزامية واحدة. يستخدم باتون وتسيغل وتشن هذه النتيجة لنمذجة VaR وES ديناميكيًا ومقارنة التوقعات (Patton, Ziegel, and Chen, 2019). ومن الصيغ الشائعة FZ0، وهي مكتوبة لعوائد الذيل السفلي: Y = −L، وα = 1−c، وتوقعات سالبة e ≤ v < 0: S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1. تعتمد هذه الصيغة على اصطلاح العوائد والإشارات المذكورة. لا تطبقها كما هي على بيانات الخسائر الموجبة، وليست بالضرورة الأفضل لكل مجموعة بيانات. اذكر القاعدة المختارة وتحقق من شروطها.

للنموذج m، احسب S_c(v_hat(m,t),e_hat(m,t);L_t) لكل زوج من التوقع والنتيجة ثم خذ المتوسط عبر T مشاهدة. عند استخدام الدرجة نفسها والهدف والتواريخ والاصطلاحات ذاتها، يشير المتوسط الأقل إلى أداء نسبي أفضل وفق هذه القاعدة. لا تمثل القيمة احتمالًا أو مبلغ VaR أو توقعًا لخسارة نقدية؛ فمقياسها يعتمد على الدرجة المختارة.

للمقارنة المزدوجة، احسب d_t = S_A,t − S_B,t. يشير المتوسط السالب إلى أفضلية A وفق الدرجة المحددة. تواجه التوقعات النتيجة المحققة نفسها، لذا يكون فرق الدرجات المزدوج أكثر إفادة من مقارنة متوسطين مقربين منفصلين. لكنه قد يظل غير دقيق عندما تكون مشاهدات الذيل قليلة.

<!-- learn:illustration -->

قارن تواريخ إصدار التوقعات نفسها، والمحفظة أو الهدف نفسه، والأفق ومستوى الثقة ونسخة البيانات نفسها. يجب تسجيل التوقعات قبل ظهور النتائج. إذا تداخلت الآفاق أو وُجد اعتماد زمني في فروق الدرجات، فينبغي أن يعكس تقدير عدم اليقين ذلك. أبلغ عن خطأ معياري أو مجال مناسب؛ فالفرق الخام الصغير ليس فوزًا موثوقًا تلقائيًا.

قد يبدو من الطبيعي إضافة خطأ مطلق لتوقع ES أو قيمة مرجعية إلى خسارة pinball لـ VaR. لكن القيمة المرجعية قد لا تكون مناسبة، كما أن متوسط الحد الثاني لا يلزم أن يبلغ أدنى مستوياته عند ES الحقيقية. ولا يضمن الجمع بأوزان اعتباطية الاتساق المشترك. صُممت درجة FZ لتقييم زوج VaR–ES معًا.

تضم فئة فيسلر–تسيغل درجات متعددة بمقاييس وتركيزات مختلفة، لذا لا يمكن مقارنة المتوسطات الناتجة عن دوال مختلفة مباشرة. يناقش باتون وتسيغل وتشن صيغة FZ0 وبعض خصائص المقياس في ظل افتراضات إضافية على الإشارات؛ وهذا لا يجعلها الأفضل في جميع الحالات. اختر الدرجة ووثقها قبل الاطلاع على ترتيب النماذج.

ويجب أن يكون زوج التوقعات متسقًا داخليًا. فقد يبدو توقع ES معقولًا، لكنه يحقق درجة ضعيفة إذا خالف توقع VaR المصاحب. وعلى العكس، لا تثبت الدرجة المشتركة الجيدة صحة التوزيع الشرطي بأكمله. فهي تقيّم دالة VaR–ES المحددة وفق الدرجة وتصميم التقييم المختارين.

مؤشر استثناء VaR ثنائي: I_t = 1 عندما تتجاوز L_t قيمة VaR المتوقعة، وإلا يساوي صفرًا. قد يتطابق عدد الاستثناءات وتوقيتها بين نموذجين رغم اختلاف أحجام الخسائر التي تجاوزت الحد كثيرًا. لا يبيّن تسجيل أربع حالات إن كانت التجاوزات طفيفة أم أن إحداها امتدت بعيدًا في الذيل. فالعد وحده يحذف معلومة الحجم التي تضيفها ES.

تستخدم الدرجة المشتركة توقعي VaR وES مع الخسارة المحققة، لذلك قد يؤثر حجم خسائر الذيل في النتيجة إلى جانب عدد الاستثناءات. وتحدد دالة الدرجة المختارة مساهمة كل مشاهدة. لا تعلن فوز نموذج استنادًا إلى حدث متطرف واحد؛ احسب الدرجة على كامل العينة المشتركة وافحص حساسيتها.

تجيب المقارنة بالدرجات واختبار معايرة VaR عن سؤالين مختلفين. ترتب الأولى أزواج التوقعات وفق قاعدة ثابتة، بينما يدرس اختبار الاستثناءات تكرار تجاوزات الحد أو نمطها الزمني. ولا يشكل الترتيب شهادة كاملة على المعايرة.

تقارن اختبارات كيوبيك عدد استثناءات VaR بالمعدل المستهدف؛ وتدرس امتدادات كريستوفرسن أيضًا الاعتماد أو التكتل. تختزل هذه الاختبارات كل نتيجة إلى استثناء أو عدم استثناء، فلا تقيس حجم الخسائر فوق الحد ولا تتحقق مباشرة من توقع ES. يشرح دليل VaR والخسارة المتوقعة اختلاف المعلومات التي يحملها المقياسان.

قدم أتشيربي وسيكيلي اختبارات ES غير معلمية وأشارا إلى أن القابلية للاستخلاص مهمة لاختيار النماذج، لكنها ليست شرطًا لاختبار مقياس مخاطر (Acerbi and Szekely, 2014). وطوّر باير وديميترياديس اختبارات ES قائمة على الانحدار وبنية مشتركة لـ VaR وES، ولكل صيغة افتراضاتها ومتطلبات تقدير التغاير الخاصة (Bayer and Dimitriadis, 2022). لا يحل ترتيب الدرجات محل اختبار رجعي مخصص، كما أن عدم رفض الفرضية لا يثبت صحة زوج التوقعات.

تشكّل سلسلة فروق الدرجات d_t سلسلة زمنية. في توقعات الخطوة الواحدة غير المتداخلة ومع افتراضات اعتماد مناسبة، يمكن النظر في اختبار مزدوج لمتوسط الفرق. ومع الاعتماد التسلسلي أو تداخل الآفاق، ينبغي أن تراعي طريقة عدم اليقين ذلك، مثل تقدير تباين طويل الأمد مناسب أو إعادة معاينة كتلية. اذكر المنهج ومعاييره، لا قيمة p فقط.

ثبّت الدرجة ومستوى الذيل والأفق وفترة التقييم ومجموعة النماذج قبل فحص النتائج. إن تجربة درجات ونوافذ ومحافظ ومتغيرات كثيرة، ثم عرض الأقل فقط، تنشئ مشكلة اختيار. احتفظ بفترة لاحقة لم تُستخدم لاختيار النموذج متى أمكن، واشرح نطاق البحث. ولا تصحح الأخطاء المعيارية المعتادة هذا الاختيار تلقائيًا.

اعرض المتوسطات والفرق المزدوج مع عدم اليقين، وتعريف الدرجة والإشارات والاصطلاحات، والتواريخ المشتركة خارج العينة، وعدد مشاهدات الذيل. وإذا تغير الترتيب عند استخدام اختيارات معقولة للدرجة أو الفترة، فأظهر هذه الحساسية.

تكون مشاهدات الذيل قليلة عند مستويات الثقة المرتفعة، لذلك قد يكون ترتيب النماذج غير مستقر حتى مع سلسلة زمنية طويلة. وقد تؤثر اللامساواة الشرطية، وتغير الأنظمة، والعوائد المتداخلة، وعدم يقين التقدير، وأخطاء البيانات، وتغير المحفظة في فروق الدرجات. لا تحل القابلية للاستخلاص المشترك هذه المشكلات؛ بل توفر فئة درجات مبررة ضمن شروط رياضية.

تحقق من أن الخسارة المحققة تخص المحفظة والأفق وطريقة التقييم والإشارة نفسها في التوقع. ويجب أن يستخدم VaR وES احتمال الذيل نفسه. تأكد من أن التوقعات أُصدرت قبل النتيجة وأن الدرجة تستوفي افتراضاتها بشأن التوزيع والعزوم والإشارات. أبلغ عن طول العينة ومشاهدات الذيل وصيغة الدرجة وطريقة عدم اليقين والبحث عن النماذج أو الدرجات. يظل الاستنتاج مقيدًا بهذا التصميم.

الدرجة المشتركة الأقل دليل على أداء تنبؤي نسبي أفضل وفق قاعدة معينة. لكنها لا تثبت أن النموذج يغطي كل حدث ذيلي أو أن تقدير المخاطر آمن أو أن المستقبل سيشبه العينة. يشرح هذا المقال أساليب إحصائية ولا يقدم نصيحة استثمارية.