اختبار VaR التاريخي: شرح اختباري Kupiec وChristoffersen

القيمة المعرضة للخطر (VaR) حدٌّ للخسارة يرتبط بمستوى ثقة وأفق زمني محددين. إذا كان توقع VaR ليوم واحد عند مستوى 99% يساوي 10,000 دولار، فهذا يعني أن النموذج، وفق المعلومات والافتراضات المعلنة، يخصص احتمالاً قدره 1% لخسارة يومية تتجاوز 10,000 دولار. ولا يعني ذلك أن هذا المبلغ سقف للخسارة، كما لا يحدد حجم الخسارة بعد تجاوزه.

تحوّل المراجعة اللاحقة سلسلة التوقعات والنتائج إلى سلسلة من مؤشرات الاستثناء. إذا كان نموذج VaR اليومي عند 99% معايراً جيداً، فينبغي أن تظهر الاستثناءات في نحو 1% من الملاحظات المقارنة على المدى الطويل. لهذا الوصف جانبان: أن يكون المعدل الكلي قريباً من الهدف، وألا يظهر توقيت الاستثناءات نمطاً يناقض توقعات المخاطر الشرطية للنموذج. يركز اختبار نسبة حالات الإخفاق (POF) لكوبيك على الجانب الأول؛ وتضيف اختبارات الاستقلالية والتغطية الشرطية لكريستوفرسن ترتيب الاستثناءات إلى التحليل.

هذا الفرق مهم عملياً. فقد يسجل نموذج أربعة استثناءات في سنة، لكنها قد تتوالى كلها خلال أسبوع مضطرب. وقد يسجل نموذج آخر الاستثناءات الأربعة نفسها موزعة على السنة. يرى اختبار العدد أربعة في الحالتين، أما اختبار التوقيت فيرى سلسلتين مختلفتين. تساعد الاختبارات التالية على وصف هذه السمات، لكنها لا تحل محل مراجعة المراكز أو بيانات السوق أو الافتراضات أو حجم الخسارة.

ولفهم تجمّع التقلب بمرور الوقت، راجع شرح نماذج GARCH لتجمّع التقلب؛ فالنموذج يصف التباين، بينما يختبر الباكتيست جودة التوقعات على النتائج.

استخدم اصطلاح إشارة واحداً طوال التحليل. لنرمز إلى الخسارة المحققة في اليوم t بالرمز Lₜ، وإلى حد الخسارة المتوقع ليوم t باستخدام المعلومات المتاحة قبل ذلك اليوم بالرمز VaRₜ|ₜ₋₁. عرّف مؤشر الاستثناء Iₜ بأنه 1 عندما تكون Lₜ أكبر من VaRₜ|ₜ₋₁، و0 خلاف ذلك. إذا كان النموذج عند VaR بنسبة 99%، فاحتمال الاستثناء المستهدف هو α = 1 − 0.99 = 0.01. تستخدم بعض المصادر العوائد بدلاً من الخسائر أو تعرّف فترة تغطية؛ وهي اصطلاحات متكافئة بعد ترجمة الإشارة والاحتمال. اذكر بوضوح الاصطلاح الذي تستخدمه.

يجب أن يشير التوقع والنتيجة إلى المحفظة والأفق الزمني ووقت التقييم وتعريف الخسارة نفسها. فإذا صدر التوقع بعد الإغلاق لليوم التالي، فقارنه بخسارة ذلك اليوم وفق قاعدة تقييم محددة ومتسقة. قرر مسبقاً كيفية التعامل مع مساواة الخسارة لحد VaR، والعطلات، والملاحظات المفقودة، وإغلاقات السوق، وتصحيحات التداول داخل اليوم، وأي تغيير في المحفظة. يمكن لهذه الاختيارات أن تغير سلسلة الاستثناءات، خصوصاً عندما تكون الاختراقات نادرة.

افصل ملاءمة النموذج عن التقييم النهائي. إذا اخترت المعلمات أو حدود المخاطر بعد مراجعة الفترة نفسها التي ستختبرها، فلن يعود تفسير قيمة p على أنها فحص نزيه خارج العينة مناسباً. وفي التوقعات المتحركة، سجّل وقت إنتاج كل توقع والمعلومات المتاحة آنذاك. قد تنشئ توقعات VaR لعدة أيام متداخلة اعتماداً بين مؤشرات الاستثناء حتى لو كانت استثناءات اليوم الواحد مستقلة. لا ينبغي اعتبار الاختبارات القياسية أدناه إصلاحاً تلقائياً لاختلاف الآفاق أو تسرب المعلومات المستقبلية أو مراجعة المدخلات أو عملية اختيار النموذج.

افترض وجود T أزواج قابلة للمقارنة من التوقع والنتيجة، وظهور x استثناءات. معدل الاستثناء المرصود هو p̂ = x/T. يقارن اختبار نسبة حالات الإخفاق لكوبيك احتمالين ثنائيين: الأول يثبت احتمال الاستثناء عند α المستهدف، والثاني يقدره بحرية باستخدام p̂ المرصود. إحصاء نسبة الاحتمال هو:

LRᵤ꜀ = −2 ln [ (1−α)^(T−x) α^x / ((1−p̂)^(T−x) p̂^x) ]

تحت الفرضية الصفرية، يفترض الاختبار أن الاستثناءات أحداث برنولية مستقلة واحتمال كل منها α. وفي عينة كبيرة بما يكفي، يقارب الإحصاء توزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة. ويشير الإحصاء الكبير إلى أن تكرار الاستثناءات المحدد لا يتفق مع البيانات. وبما أن الفرضية البديلة تقدر المعدل المرصود بحرية، يمكن رفض النموذج عند ظهور استثناءات أكثر من اللازم أو أقل منه. فالنموذج الذي نادراً ما يخترق حد VaR ليس معايراً بالضرورة؛ فقد يكون متحفظاً إلى درجة لا تخدم الغرض المقصود من توقع المخاطر.

يستخدم اختبار POF العدد x، لا التواريخ التي وقعت فيها الاستثناءات. لذلك لا يتغير إحصاؤه إذا أعدت ترتيب مؤشرات الاستثناء نفسها. ولا يمكن لنتيجة POF وحدها أن تخبرك إن كانت الاستثناءات الأربعة متفرقة أم متتالية. كما يفترض الاحتمال الثنائي استقلال مؤشرات الاستثناء عند بناء التوزيع المرجعي. إذا كان سؤالك عن تجمّع الاستثناءات، فأضف اختباراً يفحص الاعتماد بدلاً من استنتاج التجمع من نتيجة POF.

عرض كوبيك الأصلي لهذا الاختبار منشور في بحثه عام 1995، ويتوفر أيضاً سجلّه في أرشيف الاحتياطي الفيدرالي.

لنتناول سلسلة افتراضية من 250 توقعاً يومياً لـVaR عند 99%. المعدل المستهدف α = 0.01، لذا فإن عدد الاستثناءات المتوقع تحت الفرضية الصفرية هو Tα = 250 × 0.01 = 2.5. افترض ظهور أربعة استثناءات. عندئذ يكون المعدل المرصود p̂ = 4/250 = 0.016، أي 1.6%. وهو أعلى من هدف 1%، لكن الفرق وحده لا يحسم ما إذا كان اختبار نسبة الاحتمال سيرفض الفرضية.

بالتعويض عن T = 250 وx = 4 وα = 0.01 نحصل على LRᵤ꜀ ≈ 0.769. وباستخدام توزيع كاي تربيع(1) التقريبي تكون قيمة p ≈ 0.38، بينما تبلغ القيمة الحرجة عند 5% نحو 3.84. وفق هذا التقريب، لا يرفض المثال التغطية غير المشروطة عند مستوى 5%. هذه حسابات افتراضية للتوضيح، وليست نتيجة بيانات سوق فعلية أو عتبة قبول موصى بها.

توضح قيمتا لوغاريتم الاحتمال مصدر الإحصاء. عندما يثبت النموذج المعدل عند الهدف، تكون ℓ₀ = 246 ln(0.99) + 4 ln(0.01) ≈ −20.893. وعند استخدام المعدل المرصود غير المقيد، تكون ℓ₁ = 246 ln(0.984) + 4 ln(0.016) ≈ −20.508. تحسن الملاءمة غير المقيدة بنحو 0.385 وحدة لوغاريتمية، ولذلك LRᵤ꜀ = −2(ℓ₀ − ℓ₁) ≈ 0.769. يقيس الاختبار فقدان الملاءمة نسبة إلى نموذج المعدل المستهدف؛ وليس مسافة بالدولار.

عدم الرفض لا يثبت أن النموذج معاير جيداً. لم يكن متوقعاً سوى 2.5 استثناء على مدى 250 يوماً، لذلك يغيّر حدث أو حدثان إضافيان المعدل المرصود بوضوح. كما أن مرجع كاي تربيع تقريبي تقاربي، وقد تكون قوة الاختبارات ضعيفة عندما تكون الأحداث نادرة والعينة بهذا القصر. اقرأ الإحصاء مع العدد المتوقع، والأفق الزمني، وتصميم الاختبار وحجم العينة. فقيمة p ليست احتمال أن يكون نموذج VaR صحيحاً.

قارن الآن سلسلتين افتراضيتين، طول كل منهما 250 يوماً وفي كل منهما أربعة استثناءات. تظهر استثناءات السلسلة A في الأيام 20 و80 و140 و220. أما B فتظهر في الأيام 60 و61 و180 و181. في الحالتين x = 4 وp̂ = 1.6%، لذلك يكون إحصاء Kupiec متطابقاً. لكن B تتضمن زوجين من الاستثناءات المتتالية، بينما لا تتضمن A أياً منها.

يوضح الرسم التخطيطي سبب الاحتفاظ بسلسلة مؤشرات الاستثناء بدلاً من الاكتفاء بإجمالي العدد. وهو رسم مفاهيمي، لا سلسلة بيانات فعلية من 250 يوماً ولا نتيجة اختبار. قد تدفع الاستثناءات المتتالية إلى فحص ما إذا كان النموذج يتأخر في الاستجابة لتغير التقلب، لكن عدداً قليلاً من النقاط لا يكفي لتشخيص السبب. فقد يعكس النمط سوء مواصفة النموذج أو صدمة سوقية أو تغيراً في المحفظة أو آفاقاً متداخلة أو قواعد البيانات والتوقيت.

لعدّ الانتقالات، عرّف nᵢⱼ بأنه عدد المرات التي كانت فيها القيمة السابقة للمؤشر i والحالية j، حيث تعني 0 عدم وجود استثناء و1 وجوده. بعيداً عن حدود العينة، يكون في A: n₀₁ = 4 وn₁₁ = 0، وفي B: n₀₁ = 2 وn₁₁ = 2. للاثنتين أربعة استثناءات؛ لكن بعض استثناءات B جاءت بعد استثناء سابق، ولذلك يختلف عدد الانتقالات. يستخدم اختبار الاستقلال من الرتبة الأولى هذه المعلومة.

وتبلغ مجاميع الانتقالات الكاملة في A: n₀₀ = 241 وn₀₁ = 4 وn₁₀ = 4 وn₁₁ = 0؛ وفي B: n₀₀ = 243 وn₀₁ = 2 وn₁₀ = 2 وn₁₁ = 2. باستخدام هذه المجاميع، يكون احتمال الاستثناء المقدّر بعد يوم بلا استثناء هو n₀₁/(n₀₀+n₀₁)، وبعد يوم شهد استثناء هو n₁₁/(n₁₀+n₁₁). في A، القيمتان 4/245 ≈ 1.63% و0/4. وفي B، القيمتان 2/245 ≈ 0.82% و2/4 = 50%. تعتمد نسبة 50% على أربع انتقالات فقط بعد استثناء؛ وهي سمة لهذه السلسلة الافتراضية الصغيرة، لا تقدير موثوق لمخاطر نموذج حقيقي في اليوم التالي.

يقارن اختبار الاستقلال لدى Christoffersen احتمال الاستثناء بعد يوم هادئ باحتماله بعد يوم حدث فيه استثناء. اكتب π₀ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 0) وπ₁ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 1). وتقول فرضية الاستقلال الصفرية إن π₀ = π₁؛ أي إن حالة استثناء الأمس لا تغير احتمال استثناء اليوم. أما تحت الفرضية البديلة، فيتم تقدير احتمالي الانتقال منفصلين من n₀₀ وn₀₁ وn₁₀ وn₁₁.

يقارن إحصاء الاستقلال المبني على نسبة الاحتمال بين النموذجين، ويُقيّم عادةً مقابل توزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة. وعلى خلاف اختبار POF، يعتمد على ترتيب المؤشرات. فإذا كان الاستثناء يتبعه استثناء آخر كثيراً، فقد تكون π₁ أكبر من π₀. لكن الاختبار يتناول الاعتماد من الرتبة الأولى في هذه السلسلة الثنائية تحديداً؛ ولا يفحص كل طريقة يمكن أن تتنبأ بها المعلومات السابقة أو التقلب أو حالة المحفظة بالخسائر المستقبلية.

عندما تكون الاستثناءات قليلة، تصبح تقديرات الانتقال غير مستقرة على نحو خاص. وقد تنتج سلسلة بلا استثناءات متتالية تقديراً حدياً صفرياً لـπ₁، لكن ذلك لا يعني استحالة الاستثناء التالي. بل يعني فقط أن العينة لم تتضمن انتقالاً كهذا. افحص أعداد الانتقال وحجم العينة مع الإحصاء. ولا تتعامل مع جدول متناثر كما لو كان تقديراً دقيقاً لمخاطر الذيل في اليوم التالي.

يرتبط هذا الإطار بتقييم التنبؤات بالفترات الشرطية في بحث كريستوفرسن عام 1998.

يجمع اختبار التغطية الشرطية إحصاء تكرار Kupiec مع إحصاء الاستقلال لدى Christoffersen: ‏LR꜀꜀ = LRᵤ꜀ + LRᵢₙd. وتقول فرضيته الصفرية المشتركة إن احتمال الاستثناء يساوي α وإن الاستثناءات مستقلة عبر الزمن. وفي الإعداد القياسي ذي العينة الكبيرة، يقارن المجموع بتوزيع كاي تربيع بدرجتي حرية.

من الأفضل الإبلاغ عن النتيجة المشتركة ومكونات الاختبار أيضاً. فرفض التغطية الشرطية يعني أن المتطلبات المشتركة لا تتفق مع سلسلة الاستثناءات تحت افتراضات الاختبار، لكنه لا يحدد السبب. إذا رفض اختبار POF ولم يرفض اختبار الاستقلال، فقد يكون العدد الإجمالي هو الإشارة الأوضح. وإذا رفض اختبار الاستقلال، فافحص تجمّع التوقيت حتى لو بدا العدد قريباً من الهدف. وإذا لم يرفض أي منهما، فقد تكون العينة قصيرة بحيث لا تكشف سوء المواصفة.

للاختبار نطاق ضيق. فهو يحول كل يوم إلى نتيجة ثنائية، فلا يميز بين تجاوز VaR بدولار واحد أو بمليون دولار. كما لا يصادق على بقية توزيع الخسارة أو يثبت صحة الخسارة المتوقعة (Expected Shortfall). لمعرفة اختلاف السؤالين اللذين يجيب عنهما VaR وExpected Shortfall، راجع دليل مقارنة VaR بالخسارة المتوقعة.

عند VaR بنسبة 99%، لا يتوقع ظهور سوى 2.5 استثناء في عينة من 250 يوماً. وتحت فرضية الاستثناءات المستقلة بنسبة 1%، يبلغ عدد الانتقالات المتوقعة بين استثناءين في 249 زوجاً من الأيام المتجاورة نحو 249 × 0.01² = 0.025. لذلك لن تتضمن معظم هذه العينات زوجاً متتالياً من الاستثناءات حتى لو كان النموذج معايراً. ويجعل هذا الشح تقدير احتمالات الانتقال بدقة أمراً صعباً، وقد يترك اختبار الاعتماد بقوة محدودة.

يذكر Christoffersen وPelletier أن اختبارات VaR القائمة قد تكون ضعيفة القوة في عينات صغيرة واقعية، ويدرس نماذج المدة الزمنية بين الاستثناءات. وتدعم نتائجهما النظر في تشخيص إضافي؛ لكنها لا تجعل اختبار المدة متفوقاً دائماً ولا تلغي ضرورة مواءمة الاختبار مع توقع المخاطر وتصميم العينة. عندما تكون الملاحظات قليلة، اذكر ذلك بدلاً من اعتبار عدم الرفض شهادة سلامة.

يؤثر معدل الذيل المستهدف في كمية المعلومات أيضاً. عند VaR بنسبة 95% يكون المعدل الاسمي 5%، أي 12.5 استثناء متوقعاً خلال 250 يوماً؛ وعند 99.9% لا يتوقع سوى 0.25. لا يعني استخدام اسم الاختبار نفسه أن الدليل قابل للمقارنة بين هذه التصاميم. اذكر مستوى الثقة والأفق وعدد الملاحظات والمعدلين المستهدف والمرصود وأعداد الانتقال، وما إذا كان الحساب تقاربياً أو يستخدم طريقة للعينة المحدودة.

ناقش كريستوفرسن وبيليتييه اختبارات المدة بين الاستثناءات في بحثهما عام 2004.

اختر التشخيص التالي بسؤال نفسك عن المعلومات التي أسقطها الاختباران. إذا أردت اختبار إمكانية التنبؤ بالاستثناءات من المؤشرات المتأخرة أو توقعات VaR أو متغيرات أخرى معروفة وقت التنبؤ، فإن اختبار الكمية الديناميكي (DQ) لدى Engle وManganelli يختبر قيوداً على مؤشرات الاستثناء المتمركزة ومجموعة أدوات مختارة. تعتمد النتيجة على هذه الأدوات وتوقيت توافرها؛ وهو ليس اختباراً لكل إخفاق شرطي ممكن. أما اختبار المدة فيفحص زمن الانتظار بين الاستثناءات، أي جانباً آخر من السلوك.

إذا كان الاهتمام بحجم الخسارة بعد تجاوز حد VaR، فلن يكفي تكرار الاستثناءات واستقلالها. راجع أحجام التجاوز واختر طريقة لتقييم Expected Shortfall تناسب التوقع والافتراضات. وإذا كان القلق من اختيار أفضل نتيجة بعد تجربة نماذج كثيرة، فلا تحل مراجعة VaR تلك مشكلة اختيار الاستراتيجية؛ راجع PBO وCSCV لتشخيص مختلف قائم على الرتب.

ينبغي أن يذكر التقرير المفيد المحفظة واصطلاح الخسارة، وأفق التوقع ومستوى الثقة وتواريخ التقييم، وكيف أُنشئت التوقعات، وتعريف الاستثناء، والعددين المتوقع والمرصود، وإحصاء POF، وأعداد الانتقال، ونتائج الاستقلال والتغطية الشرطية. اذكر أيضاً حدود العينة أو الآفاق المتداخلة. اعرض حدود التوقع والخسائر المحققة في رسم زمني، ولا تستخدم بيانات التقييم اللاحقة لاختيار النموذج. تجعل هذه الخطوات الدليل قابلاً للتفسير، لكنها لا تحول اجتياز اختبار تاريخي إلى ضمان للسيطرة على المخاطر مستقبلاً.

قدّم إنغل ومانغانيلي اختبار الكمية الديناميكي ضمن بحث CAViaR.