VaR–ES 联合评分：Fissler–Ziegel 预测评估

令 L_t 表示损失，数值越大越差；c 表示置信水平，例如 97.5%。条件损失分位数 v(c,t) 是使 F(L_t ≤ x | 截至 t−1 可得的信息) 达到 c 的最小 x。对正损失的上尾约定，若尾部均值有限，ES e(c,t) 等于 v(u,t) 从 c 到 1 的积分乘以 1/(1−c)。在连续分布下，它等于超过 VaR 阈值后的平均损失。如果阈值处有概率质量，分位数积分定义会计入所需比例的质量。

评分必须采用与预测相同的约定。一些论文针对收益率下尾定义 VaR 和 ES，通常使用负值，并以 α = 1−c 表示尾部概率。对正损失约定，同一风险位于上尾，且 ES 不小于 VaR。混用约定可能颠倒不等式和例外指标。应记录符号、置信水平、预测期限，以及结果发生前可用的信息。

分位数有熟悉的严格一致 pinball 分数。对损失 L 和其 c 分位数 v，一个 VaR 分数为 S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L)。在通常的分位数条件下，其期望值在目标分位数处最小，因此 VaR 可以单独评估。

对于风险管理中常见的广泛损失分布类别，不存在一个同等的严格一致分数可以只 elicitable ES。这个结论针对独立点预测，以及其期望分数能唯一选出 ES 的情况。它不表示 ES 没有意义、无法检验，或不能作为更完整预测的一部分进行比较。

Fissler 和 Ziegel 揭示了关键区别：ES 单独而言在此意义下不可 elicitable，但在适当的正则性和矩条件下，(VaR, ES) 可以联合 elicitable。他们 2016 年的论文给出了广泛严格一致分数类别的必要和充分条件 (Fissler and Ziegel, 2016)。联合 elicitability 指一个评分函数同时接收两项预测和实际结果。随意相加两个损失并不会自动得到有效的 ES 分数。

用 S_c(v,e;L) 表示置信水平 c 下可用的联合分数。严格一致表示在目标分布下，期望分数在正确预测对处最小：(VaR_c, ES_c) = arg min over (v,e) of E[S_c(v,e;L)]。在相关条件下，最小值唯一。分数将是否越过 VaR 边界的信息，与实际尾部损失和 ES 预测结合起来。对正损失上尾，ES 不应低于 VaR。

Fissler–Ziegel 描述的是一类分数，而不是唯一必用公式。Patton、Ziegel 和 Chen 将该结果用于动态 VaR–ES 预测的建模与比较 (Patton, Ziegel, and Chen, 2019)。一个常用成员 FZ0 针对收益率下尾约定书写：Y = −L、α = 1−c，且负预测 e ≤ v < 0： S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1。 这个表达式依赖收益率符号约定及上述负值假设。它不能直接用于所有正损失数据或所有联合分数。应说明选用的分数，并核对其假设是否符合数据和预测约定。

对模型 m，在每个预测—结果对上计算联合分数，再求平均：mean_S_m = (1/T) Σ_t S_c(v_hat(m,t), e_hat(m,t); L_t)。当采用相同的可用分数、日期、目标和约定时，较低均值表示按该规则相对表现更好。分数不是概率、VaR 金额或货币损失估计；数值尺度取决于所选分数。

比较 A 和 B 时，构造 d_t = S_A,t − S_B,t。平均差为负表示按所选分数 A 更优。两个预测面对相同的实际结果，因此配对差值比比较分别取整的平均值更有信息。不过，尾部观测很少时，差值仍可能不稳定。

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比较时应统一预测起点、投资组合或目标、期限、置信水平和数据版本。预测必须在结果出现前记录。如果期限重叠或分数差存在序列相关，不确定性计算应反映这种依赖。报告适当的标准误或区间；很小的原始差值本身并不说明结果可靠。

一种看似自然的做法，是把 VaR pinball 损失与 ES 预测和某个代理值之间的绝对误差相加。但第二项未必是有效的 ES 分数，任意加权和也不保证联合一致性。FZ 分数经过构造，使预测对共同针对 VaR–ES 泛函。若任意改动权重或变换而失去该性质，评估的问题也会改变。

Fissler–Ziegel 类别包含多个灵敏度和尺度不同的分数，因此不同分数产生的差值不能直接比较。Patton、Ziegel 和 Chen 讨论了分数设计，以及在额外符号假设下 FZ0 的尺度性质；这不意味着 FZ0 在所有场景中都最佳。应在查看排名前选定并报告评分规则。

预测对本身也很重要。数值上看似合理的 ES 预测可能与配套 VaR 不一致。反过来，联合分数表现良好，也不能证明整个条件分布正确。分数评估的是所选规则和评估设计下的 VaR–ES 泛函。

VaR 例外指标是二元的：L_t 超过 VaR 预测时 I_t = 1，否则为 0。两个模型可能有相同的例外次数和发生时间，但阈值以上的损失规模差异很大。四次突破并不能说明损失只是略微超出还是远超 VaR。仅计数会丢掉 ES 所描述的尾部严重程度。

联合分数会同时使用 VaR 阈值、ES 预测和实际损失，因此尾部损失规模可能在命中次数之外继续影响分数。每个观测的具体贡献由所选分数决定。不要依据一次极端损失判断胜者；应在完整共同样本上计算分数并检查敏感性。

用评分进行预测比较，与检验 VaR 例外频率不是同一件事。联合分数用于判断哪个预测对在共同规则下表现较好，它本身不是完整的校准证明。

Kupiec 类 VaR 检验将例外数与目标频率比较；Christoffersen 类扩展还检查依赖或聚集。由于它们将每次结果简化为命中或未命中，因此不衡量 VaR 以上的损失规模，也不直接验证 ES 预测。VaR 与 Expected Shortfall 指南说明了为什么例外计数会漏掉尾部严重程度。

联合评分支持相对预测比较，而回测询问预测在指定程序下是否得到充分校准。Acerbi 和 Szekely 提出非参数 ES 回测，并指出 elicitability 对模型选择有用，却不是检验风险度量的前提 (Acerbi and Szekely, 2014)。Bayer 和 Dimitriadis 后来提出基于回归的 ES 回测，利用 VaR–ES 联合结构；不同变体各有假设与协方差要求 (Bayer and Dimitriadis, 2022)。分数排名不能代替专门的回测，未拒绝原假设也不证明预测对准确。

应把分数差序列视作时间序列数据。若是一阶、非重叠预测且依赖假设适当，可以考虑对平均差进行配对检验。存在序列相关或期限重叠时，应使用能反映该依赖的推断方法，例如长期方差估计或区块重抽样。除 p 值外，还应说明方法和带宽或区块规则。

在查看排名前固定分数、尾部水平、期限、评估日期和模型集合。尝试多个分数、窗口、资产或预测版本后只报告最佳者，会产生选择效应。条件允许时保留后续评估期，并披露筛选方案的过程。通常的不确定性计算不会自动考虑这种搜索。

同时报告平均分数、配对差值及其不确定性、分数定义、VaR 与 ES 约定、共同样本外日期和尾部观测数。如果合理的分数或期间选择会改变排名，应展示这种敏感性。

置信水平越高，尾部观测越少，即使时间序列很长，模型排名也可能不稳定。条件异方差、制度变化、收益重叠、估计误差、数据问题和投资组合变化都可能影响分数差。联合 elicitability 不会消除这些问题；它是在数学条件下提供有原则的评分类别。

检查实际损失是否与预测对应同一投资组合、期限、估值方法和符号；VaR 与 ES 是否采用相同尾部概率；预测是否事先生成；评分是否满足自身假设。报告样本长度、尾部数量、分数公式、配对不确定性方法及任何模型或分数搜索。结论以该评估设计为条件。

较低的联合分数是在特定适当评分规则下相对预测表现更好的证据。它不能证明模型捕捉了所有尾部事件、风险估计安全，或未来会与样本相似。本文提供统计信息，不构成投资建议。