Hasbrouck 資訊份額：衡量跨市場的價格發現

同一證券可能在多個交易場所交易，或是高度相關的工具共同反映一項基礎價值。觀察到的價格不必在每個時點完全一致。一個場所的報價可能先變動，另一個場所隨後反應，最後兩者都在共同的長期路徑附近波動。價格發現探討新資訊如何納入共同永久成分；這與交易量、報價流動性，或最近一筆交易在哪個場所成交是不同的問題。

Hasbrouck 資訊份額就是為了回答這個問題而設。在他的架構中，相關市場價格共享一個隱含、無法直接觀察的效率價格，各個觀察價格也可能含有暫時偏離。某市場的份額是其創新對共同效率價格創新變異數的比例貢獻（Hasbrouck, 1995）。估計結果取決於指定的系統、樣本與觀察設計。它無法辨認誰先收到資訊、建立因果管道，或表示某個場所每次都領先。

當某場所交易量較大或報價價差較窄時，這項區別尤其重要。這些特性可能與價格發現有關，但資訊份額衡量的是場所對永久價格變化的模型化貢獻。某個市場可能有大量交易，另一個市場卻對推動共同長期價格的創新貢獻更多。

令 \(p_t\) 包含在 \(d\) 個場所觀察到的價格，這些場所交易同一資產或經濟上等價的請求權。常見的微結構設定會將各價格水準視為非定態，通常為 \(I(1)\)，而長期套利會使價格差維持定態。若有兩個場所和一個共同趨勢，系統會有一個共整合關係，通常是經過標準化的價格差。更一般地，\(d\) 個相關價格若共享一個隨機趨勢，其共整合秩為 \(d-1\)。

這是需要檢驗的實證假設，不是因為兩個畫面顯示相同股票代號就自動成立。價格可能因合約條款、貨幣、融資、股利、交割或持續存在的基差而不同。轉換交易場所、費用變動、市場結構改革或資料定義改變，也可能使關係改變。如果所選樣本中的序列沒有共享假設的長期關係，效率價格分解及其份額就不具有原本預期的解釋。

共整合與誤差修正會將定態的長期關係連結到短期價格變化模型（Engle and Granger, 1987）。VECM 明確呈現這種結構：它區分共同價格周圍的暫時調整，以及可能影響長期成分的創新。

<!-- learn:illustration --> <!-- 無文字概念圖：兩個交易場所的價格路徑圍繞一條較平滑的共同長期價格路徑波動，並各自出現暫時偏離。不是市場資料、因果圖或預測。 -->

對 \(d\) 個價格序列，VECM 可以寫成

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

其中，\(\beta\) 張成共整合關係，\(\alpha\) 包含調整載荷，\(\Gamma_j\) 捕捉短期落後動態；\(\varepsilon_t\) 是共變異數矩陣為 \(\Omega\) 的簡約形式創新向量。在只有一個共同效率價格的情況下，這些創新的長期影響可以用列向量 \(\psi\) 概括。永久價格的增量為

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t, \]

並取決於模型所選的標準化方式和確定性項。該增量的總變異數為

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T}. \]

\(\psi\) 來自估計系統的長期表示，並不只是調整係數 \(\alpha\) 或共整合向量 \(\beta\)。短期價格變動可能很大但只是暫時；若較小的創新影響仍留在共同永久成分，它對價格發現也可能更重要。

應說明共同趨勢及其標準化方式。將效率價格表示乘上一個常數，會改變 \(\psi\) 和共同價格變異數的單位，但標準化後的資訊份額不變。如果系統有多個共同隨機趨勢，單一純量效率價格就不夠；研究者必須界定要分解哪個永久成分或線性組合。

若各場所創新互不相關，\(\Omega\) 就是對角矩陣。此時可以直接拆分各市場對永久價格變異數的貢獻：

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

這個公式用市場自身創新的變異數，為其長期影響加權。若某場所價格創新的持續性影響較大，或創新變異數較高，它就可能取得較大的資訊份額。只比較 VECM 調整係數的絕對值並不足夠。

當創新在同一時點相關時，總變異數會包含共變異數項。僅憑 \(\Omega\)，沒有唯一方式可將這些共同項分配給各交易場所。Hasbrouck 使用 Cholesky 分解 \(\Omega=FF^{\mathsf T}\) 建立正交創新。對選定的變數排序，分配給正交衝擊 \(i\) 的份額為

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}. \]

分解會使衝擊正交，但其三角結構讓排序較前的變數優先吸收共同的同期變動。排序是分解中的分配慣例，並非經濟資訊層級的證明。

若兩個場所的價格在同一個取樣區間內更新，創新可能高度相關，資料便無法清楚分辨哪個市場的創新先到。Cholesky 分解會依據哪個場所排在前面，以不同方式分配共同變動。Hasbrouck 程序會在相關排序中把市場放在最後求下界，放在最前求上界。

這些界限回答比選擇一個方便排序更審慎的問題：在可接受的相關創新遞迴分配下，這個市場的份額可以變動多少？界限較窄表示在估計樣本中，排序問題對結果影響較小；界限較寬則表示同期價格創新對場所間份額的識別較弱。有時會報告區間中點作為摘要，但中點不是唯一識別的估計值，不應取代界限或明確說明的排序。

提高取樣頻率可能降低部分表面上的同期相關性，例如一個場所先於另一個場所更新時，但無法保證相關性為零。低頻取樣會隱藏價格更新次序；頻率太高則可能產生陳舊觀察與不同步報價問題。請同時報告取樣規則和排序敏感度。

純粹為了說明，假設一個雙市場 VECM 得到標準化永久價格影響向量 \(\psi=(0.6,0.4)\)。簡約形式創新的共變異數矩陣為

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix}. \]

創新變異數均為 1，相關係數為 0.8。永久價格創新的總變異數為

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904. \]

將市場 A 排在最前面，下三角 Cholesky 因子為

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24). \]

所得份額為 A：\(0.92^2/0.904\approx93.6\%\)，B：\(0.24^2/0.904\approx6.4\%\)。倒轉排序、將 B 排在最前面後，相同計算會將約 85.7% 分給 B，14.3% 分給 A。因此，依排序而異的界限約為 A 的 14.3%–93.6%，以及 B 的 6.4%–85.7%。每種排序下的份額總和都是 100%；不同排序下分別計算的各市場下界或上界，不應預期加總為 100%。

這裏所有數值都是假設：VECM 影響向量、單位創新變異數和 0.8 相關係數，只是為了讓算術可重現。範例不是任何交易所、資產或樣本的研究結果。它的用途是展示，相關創新如何令看似精確的市場排名高度依賴 Cholesky 排序。

Gonzalo–Granger 分解將永久成分構造成觀察價格的標準化線性組合。在調整矩陣為 \(\alpha\) 的 VECM 中，共同因子權重位於 \(\alpha\) 的正交補空間：權重向量 \(w\) 滿足 \(\alpha^{\mathsf T}w=0\)，並可採用權重加總為 1 等標準化方式。所得共同因子在長期內不會對誤差修正項作出反應。Gonzalo 和 Granger 為共整合系統提出這種永久—暫時分解（Gonzalo and Granger, 1995）。

成分權重說明共同價格水準如何由各場所價格形成。Hasbrouck 資訊份額則衡量各場所對共同永久價格創新變異數的貢獻。兩者可能密切相關，但資訊份額也會考量各場所創新的變異數。de Jong 的比較，以及 Baillie、Booth、Tse 和 Zabotina 的分析，說明創新不相關時兩種量度為何可能相似，而創新相關或變異數不同時又為何可能分歧（de Jong, 200200028-9)；Baillie et al., 200200027-7)）。

以上假設輸入的 \(\psi\) 和 \(\Omega\) 本身無法決定 Gonzalo–Granger 成分權重；權重取決於 VECM 調整矩陣 \(\alpha\) 和明確指定的標準化方式。僅憑變異數分解輸入，無法推出具體的數值成分權重。這項差異至關重要：成分權重由觀察價格構造永久價格，而 Hasbrouck 資訊份額分解的是該價格創新的變異數。

價格序列必須代表可比較的權益，並依據可辯護的時鐘對齊。請說明每筆觀察是成交價、中間報價或其他報價衡量；如何處理鎖定或交叉報價、陳舊價格、競價、市場休市和亂序訊息；以及樣本期間兩個場所是否都開市。期貨應記錄合約轉倉和交割差異。對於跨市場掛牌的工具，應在估計 VECM 前先統一貨幣、公司行動和單位。

不同步觀察是核心問題。若一個場所於 10:00:00.100 更新，另一個於 10:00:00.700 更新，一秒取樣網格可能把先後反應看成同時；更粗的網格會進一步模糊次序。過細的網格則可能沿用陳舊價格，產生人為的領先—落後模式。請報告取樣頻率、同步規則、報價篩選條件，以及對合理替代方案的敏感度。較短間隔可降低資料彙整造成的相關性，但無法消除真實共同衝擊、同時更新或時間戳記錯誤。

份額也取決於落後階數、確定性項、樣本端點和結構穩定性。落後項太少可能令 VECM 創新殘留序列相依；太多則會增加估計雜訊。場所規則或交易時間改變也可能改變調整過程。請進行殘差診斷並估計不確定性，也可考慮重新估計完整 VECM 與份額界限的自助法。不要把單一規格下較小的標準誤，當成已涵蓋模型和資料選擇的不確定性。

資訊份額衡量的是，在特定 VECM 和正交化方式下，各建模場所創新對估計永久價格變異數的貢獻。份額高並不證明該場所創造了新聞、在每次事件中都先動，或能預測下一期報酬。共同資訊可能幾乎同時抵達多個場所，市場摩擦和觀察時點也會影響量得的分配。

它也不是直接的市場品質指標。某個場所可能參與形成共同價格，同時有較大的價差、較淺的顯示深度或較高的執行成本。反之，另一場所可能提供低成本流動性，但在所選樣本中對永久價格創新的貢獻較少。[Roll 價差估計量](/zh-TW/learn/roll-bid-ask-spread-autocovariance-estimator-explained)透過報酬自共變異數估計不同的對象；[訂單流失衡](/zh-TW/learn/order-flow-imbalance-limit-order-book-explained)彙整顯示委託隊列的變化，而不是長期創新變異數。

若要提出交易主張，資訊份額分析應納入預先指定的時間序列樣本外策略測試，並計入費用、買賣價差、延遲、滑價、市場衝擊和交易場所存取。[Engle–Granger 指南](/zh-TW/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained)說明單方程共整合替代方法；[Johansen 秩檢定指南](/zh-TW/learn/johansen-cointegration-rank-trace-max-eigenvalue-explained)介紹系統共整合秩。共整合或高資訊份額都不能證明某個規則有獲利能力。