VaR–ES 聯合評分：Fissler–Ziegel 預測評估

令 L_t 表示損失，數值愈大代表損失愈嚴重；c 是信賴水準，例如 97.5%。條件損失分位數 v(c,t) 是讓 F(L_t ≤ x | 截至 t−1 的資訊) 達到 c 的最小 x。採用正損失上尾慣例時，只要尾端平均有限，ES e(c,t) 就是 v(u,t) 從 c 到 1 的積分乘以 1/(1−c)。在連續分配下，它等於超過 VaR 門檻的平均損失。若門檻有機率質量，分位數積分定義會處理所需比例的質量。

評分必須採用與預測相同的慣例。有些論文以報酬率下尾定義 VaR 和 ES，通常使用負值，並將尾端機率寫成 α = 1−c。採用正損失慣例時，同一風險位於上尾，而且 ES 不會小於 VaR。混用慣例可能讓不等式和例外指標反轉。請記錄正負號、信賴水準、期間，以及結果發生前可取得的資訊。

分位數有常見的嚴格一致 pinball 分數。對損失 L 和其 c 分位數 v，一種 VaR 分數是 S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L)。在一般分位數條件下，期望值於目標分位數達到最小，因此 VaR 可以單獨評估。

對風險管理使用的廣泛損失分配類別而言，沒有相同的嚴格一致分數可以只 elicitable ES。這個說法針對獨立點預測，以及期望分數能唯一選出 ES 的情況。它不代表 ES 沒有意義、無法檢定，或不能作為較完整預測的一部分進行比較。

Fissler 和 Ziegel 說明關鍵差異：ES 單獨在此意義下不可 elicitable，但在適當的正則性和動差條件下，(VaR, ES) 可以共同 elicitable。他們 2016 年的論文為廣泛的嚴格一致分數類別提出必要和充分條件 (Fissler and Ziegel, 2016)。共同 elicitability 表示同一評分函數同時接收兩項預測和實際結果。任意將兩種損失相加，不會自動產生有效的 ES 分數。

以 S_c(v,e;L) 表示信賴水準 c 下可用的聯合分數。嚴格一致表示在目標分配下，期望分數於正確組合處最低：(VaR_c, ES_c) = arg min over (v,e) of E[S_c(v,e;L)]。在相關條件下，最低點唯一。分數會結合是否越過 VaR 邊界、實際尾端損失和 ES 預測。正損失上尾慣例下，ES 不應低於 VaR。

Fissler–Ziegel 提出的是分數類別，不是唯一必用公式。Patton、Ziegel 和 Chen 將此結果用於動態 VaR–ES 預測的建模與比較 (Patton, Ziegel, and Chen, 2019)。常見成員 FZ0 以報酬率下尾慣例表示：Y = −L、α = 1−c，且負預測 e ≤ v < 0： S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1。 這個公式依賴報酬率正負號與負值假設。它不適用於所有正損失資料，也不代表所有聯合分數。請記錄所選分數，確認假設符合資料與預測慣例。

對模型 m，逐一計算預測–結果組合的聯合分數，再求平均：mean_S_m = (1/T) Σ_t S_c(v_hat(m,t), e_hat(m,t); L_t)。若採用相同的 admissible 分數、日期、目標和慣例，平均分數較低代表依該規則的相對表現較佳。分數不是機率、VaR 金額或金錢損失估計；數值尺度取決於所選分數。

比較 A 和 B 時，建立 d_t = S_A,t − S_B,t。平均差為負表示依所選分數 A 較佳。兩個預測面對相同的實際結果，因此配對差異比比較各自四捨五入的平均值更有資訊。不過，尾端觀察值很少時，差異仍可能不穩定。

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請使用相同的預測起點、投資組合或目標、期間、信賴水準和資料版本。預測必須在結果出現前記錄。若期間重疊或分數差有序列相關，不確定性計算須反映這種依賴。請報告適當的標準誤或區間；微小的原始差異本身不代表結果可靠。

一種看似簡單的方法，是將 VaR pinball 損失加上 ES 預測與代理值之間的絕對誤差。但第二項未必是有效的 ES 分數，任意加權總和也不保證聯合一致性。FZ 分數的設計，是讓預測組合共同對應 VaR–ES 泛函。若任意更改權重或轉換而失去這項性質，評估問題也會跟著改變。

Fissler–Ziegel 類別包含多種敏感度與尺度不同的分數，因此不同分數的差異不能直接比較。Patton、Ziegel 和 Chen 討論分數設計，以及在額外正負號假設下 FZ0 的尺度特性；這不代表 FZ0 在所有情況都是最佳選擇。應在查看排名前選定並公開規則。

預測組合也很重要。數值上看似合理的 ES 預測，可能與配對 VaR 不一致。反過來，聯合分數表現良好也無法證明整個條件分配正確。評估的是所選分數與評估設計下的 VaR–ES 泛函。

VaR 例外指標是二元值：若 L_t 超過 VaR 預測，I_t = 1，否則為 0。兩個模型的例外數量與時間可能相同，但超過門檻的損失幅度可能差很多。四次突破並不能說明損失只是稍微超過，還是遠高於 VaR。單純計數會遺失 ES 要描述的尾端嚴重程度。

聯合分數會將 VaR 門檻、ES 預測和實際損失一併考慮，因此尾端損失幅度可能在命中次數之外影響分數。每個觀察值的實際貢獻由所選分數決定。不要只根據單一極端損失判斷勝者；應在完整共同樣本上計算分數並檢查敏感度。

以評分比較預測，和檢查 VaR 例外頻率並非同一件事。聯合分數回答哪個預測組合依共同規則表現較好；它不是完整的校準證明。

Kupiec 類 VaR 檢定會把例外數量與目標比率比較；Christoffersen 類延伸方法也會檢查依賴或群聚。由於它們把結果簡化為命中或未命中，因此不會衡量 VaR 以上的損失幅度，也不會直接驗證 ES 預測。VaR 與 Expected Shortfall 指南說明例外次數為何忽略尾端嚴重程度。

聯合評分支援相對預測比較；回測則詢問預測在指定程序下是否充分校準。Acerbi 和 Szekely 提出非參數 ES 回測，並指出 elicitability 與模型選擇有關，但不是測試風險衡量的先決條件 (Acerbi and Szekely, 2014)。Bayer 和 Dimitriadis 後來以 VaR–ES 聯合結構發展迴歸式 ES 回測，各變體有不同的假設和共變異數需求 (Bayer and Dimitriadis, 2022)。分數排名不能取代專門回測；未拒絕虛無假設，也不代表預測組合正確。

應把分數差的時間序列當作資料。若是沒有重疊的一步預測，而且依賴假設適當，可以考慮對平均差進行配對檢定。若有序列相關或期間重疊，應採用反映依賴的推論方式，例如長期變異數估計或區塊重抽樣。除了 p 值，也要說明方法及頻寬或區塊規則。

在查看排名之前，先固定分數、尾端水準、期間、評估日期和模型集合。嘗試多種分數、時間窗、資產或預測版本後只公布最好結果，會產生選擇效應。可以的話，保留後續評估期間，並公開候選方案的篩選方式。一般的不確定性計算不會自動考慮這種搜尋。

請一併報告平均分數與配對差異及其不確定性、分數定義、VaR–ES 慣例、共同樣本外日期和尾端觀察數。若合理的分數或期間選擇會改變排名，請呈現敏感度。

信賴水準愈高，尾端觀察值愈少，因此即使時間序列很長，模型排名仍可能不穩定。條件異質變異、制度轉變、重疊報酬、估計誤差、資料問題和投資組合變更都可能影響分數差。共同 elicitability 不會消除這些問題；它是在數學條件下提供有原則的分數類別。

請確認實際損失是否對應相同投資組合、期間、估值方法與正負號；VaR 和 ES 是否使用相同尾端機率；預測是否在結果發生前產生；以及分數是否符合其假設。報告樣本長度、尾端觀察數、分數公式、配對不確定性方法，以及任何模型或分數搜尋。結論須以這套設計為條件。

較低的聯合分數，是在特定適當評分規則下相對預測表現較佳的證據。它不證明模型涵蓋所有尾端事件、風險估計安全，或未來會與樣本相似。本文提供統計說明，並非投資建議。