Finansta Kararlı Dağılımlar ve Sonsuz Varyans
Alfa-kararlı yasaları, genelleştirilmiş Merkezi Limit Teoremi’ni, sonsuz varyansı, kuyruk parametrelerini, toplulaştırmayı, erken finansal kanıtları ve kararlı modeller kullanılmadan önce gereken tanılamaları anlayın
Doğrudan yanıt
Kararlı bir dağılım, bağımsız kopyaların toplamından konum ve ölçek düzeltmesi sonrasında aynı aileyi korur. Gauss olmayan alfa-kararlı yasaların kuvvet yasası kuyrukları ve sonsuz varyansı vardır; bu nedenle √n ölçeklemesi, geleneksel volatilite ve olağan varyans tabanlı çıkarım başarısız olabilir. Kararlılık matematiksel olarak tutarlıdır; yine de ampirik bir model tercihidir
Kararlılık toplama altında bir özelliktir
Bir dağılım, bağımsız X_1 ve X_2 kopyaları ile pozitif a,b için aX_1+bX_2’nin bir c>0 ve d için cX+d ile aynı yasaya sahip olması durumunda kararlıdır
Bu kapanış, toplamlar aynı dağılım şekli sınıfında kaldığı için aileyi toplulaştırma açısından doğal kılar
Normal dağılım α=2 kararlı üyesidir; kararlı olmak otomatik olarak ağır kuyruklu veya sonsuz varyanslı olmak demek değildir
Tek değişkenli kararlı yasayı dört parametre tanımlar
Kararlılık üssü α, (0,2] aralığında; çarpıklık β ise [−1,1] aralığındadır. Ölçek ve konum, ilan edilen parametreleştirme altında boyutu ve merkezi belirler
α<2 için, dejenere olmayan koşullarda kuyruklar α üssüyle düzenli değişkendir ve uçlar normal yasaya göre çok daha olasıdır
Kararlı yoğunluklar genellikle temel kapalı biçimlerden yoksundur ve özellikle α=1 yakınında parametreleştirmeler farklıdır; bu nedenle yazılım konvansiyonları önemlidir
Momentlerin varlığı riskin anlamını değiştirir
α<2 olan Gauss olmayan kararlı yasa, her sonlu veri kümesinin sonlu örnek varyansı olmasına rağmen sonsuz popülasyon varyansına sahiptir
Mutlak birinci moment yalnızca α>1 olduğunda sonludur; α≤1 için geleneksel bir popülasyon ortalaması da genel olarak mevcut değildir
Artan örnek varyansı veya kararsız ortalama ağır kuyruklarla tutarlıdır; ancak tek başına sonsuz momentin kanıtı değildir
Genelleştirilmiş MLT aileyi açıklar
Bağımsız ve özdeş dağılmış değişkenlerin normalize toplamları dejenere olmayan bir limite yakınsarsa olası limitler kararlı yasalardır
Sonlu varyanslı girdiler Gauss α=2 durumuna gider; uygun düzenli değişken girdiler ise α<2 kararlı limitlere gidebilir
Toplama ölçeği √n değil n^(1/α)’dır ve merkezleme α’ya ve parametreleştirmeye bağlıdır
Kararlı yasaların uzun bir finans geçmişi vardır
Mandelbrot, Gauss modelinin izin verdiğinden çok daha fazla büyük hareket gözlemledikten sonra spekülatif fiyat değişimleri için kararlı Paretocu yasaları önerdi
Fama, sonlu varyans olmadan kararlı Paretocu getiriler altında portföy analizini ve çeşitlendirmenin nasıl işlediğini inceledi
Daha sonraki volatilite kümelenmesi, kesilmiş kuyruklar ve değişen rejim kanıtları, ağır getirilerin tek açıklamasının kesin iid kararlılığı olmadığını gösterir
Sonsuz varyans güçlü bir yapısal iddiadır
Kesin bir α<2 modeli, yalnızca büyük veya tahmini zor bir varyans değil, her ufukta sonlu popülasyon varyansının bulunmadığını ima eder
Temperlenmiş kararlı, kesilmiş kararlı, karışım, sıçramalı, GARCH ve stokastik volatilite modelleri sonlu momentleri korurken ağır sonlu örnekleri taklit edebilir
Sonlu veri kümeleri gerçek sonsuz kuyruğu çok büyük sonlu bir kesmeden nadiren ayırır; bu nedenle iddia düz bir log-log parçasına dayanmamalıdır
Doğrulama toplulaştırma ve kuyrukları incelemelidir
α’yı belirsizlikle birlikte birden çok yöntemle tahmin edin; karakteristik fonksiyon uyumunu, kantilleri, aşımları ve parametre kararlılığını inceleyin
Toplamların ufuklar boyunca öngörüldüğü gibi yeniden ölçeklenip ölçeklenmediğini ve uydurma sonrasında artık bağımlılık veya volatilite kümelenmesi kalıp kalmadığını kontrol edin
Öngörülen kuyruk kapsamını ve kararları sonlu varyanslı alternatiflerle karşılaştırın; uydurulan modelin hangi momentlerin mevcut olmadığını söylediğini raporlayın
Sık sorulan sorular
Kararlı dağılım nedir?
Bağımsız kopyaları konum ve ölçek düzeltmesinden sonra toplanınca aynı ailenin başka bir üyesine dönüşen bir olasılık ailesidir
Tüm kararlı dağılımların varyansı sonsuz mudur?
Hayır. Gauss α=2 üyesinin varyansı sonludur; α<2 olan her Gauss olmayan kararlı yasanın varyansı sonsuzdur
Örnek varyansı neden sonlu kalır?
Sonlu sayıdaki sonlu gözlemin hesaplanan varyansı sonludur; modelin popülasyon ikinci momenti sonsuz olsa bile
Finansal getiriler gerçekten alfa-kararlı mıdır?
Bazı aralıklarda kararlı ağır kuyruklara benzeyebilir; ancak kesme, volatilite kümelenmesi, karışımlar ve rejim değişimi benzer verileri açıklayabilir