Mincer–Zarnowitz Regresyonu: Tahmin Yanlılığı ve Kalibrasyon Testi

Bir strateji modelinin bir dönemlik getiriyi ya da bir ekonomistin gelecek çeyreğin büyümesini tahmin ettiğini düşünün. Değerlendirme örnekleminde tahmin hatalarının ortalaması sıfır olabilir. Bu, sürekli fazla ya da eksik tahmin etmeye karşı yararlı bir bulgudur; ancak tahminlerin sonraki sonuçlarla bire bir değiştiğini göstermez. Tahminler aşırı oynak, fazla sıkıştırılmış veya doğrusal olarak kaymış olabilir; pozitif ve negatif hatalar birbirini götürebilir.

MZ regresyonu, gerçekleşen sonucu tahmine göre regresyona alarak bu ikinci soruyu görünür kılar. Mincer ve Zarnowitz bu çerçeveyi ekonomik tahminleri değerlendirirken ortaya koydu (1969 tarihli bölüm). Bu yöntem, sayısal bir hedefe yönelik nokta tahminlerinin; özellikle kare hata kaybı altında koşullu ortalamayı tahmin etme amaçlı tahminlerin tanısal kontrolüdür. İki modelden hangisinin ortalama kaybının daha düşük olduğunu karşılaştırmaz; bu ayrı soruyu Diebold–Mariano rehberi ele alır.

Bu ayrım alım satım araştırmalarında da önemlidir. Getiri tahmininin ortalama yanlılığı küçükken ölçeği yanlış olabilir; oynaklık tahmini bir aralıkta sistematik olarak fazla, başka bir aralıkta eksik olabilir. Regresyon doğrusal bir uyumsuzluğu işaret edebilir, ancak sonuç değerlendirme örneklemine, hedef tanımına, bilgi zamanlamasına ve çıkarım yöntemine bağlıdır. Test tek başına tahminin kârlı bir işlem kuralına dönüştürülebileceğini göstermez.

Her (t) tahmin başlangıcında (f_{t+h\mid t}) tahminini, sabit (h) ufkunda öngörmek üzere üretildiği sonraki gerçekleşmiş hedef (y_{t+h}) ile eşleştirin. Denklemleri kısa tutmak için aşağıda eşleşen gözlemler ((f_t,y_t)) diye yazılır; bu alt indis her çifti belirtir, tahminin daha erken bir bilgi kesiminde üretildiğini değiştirmez. İki değer aynı değişkene, ufka, birimlere ve zaman damgası kuralına ait olmalıdır. Beş günlük getiri tahminini bir günlük getiriyle eşleştirirseniz regresyon, tahminin hedefi için kalibre edilip edilmediğini artık sınamaz.

Her başlangıçta gerçekten mevcut olan tahminleri kullanın. Tahmin değerini, model sürümünü, veri vintajını ve bilgi kesimini saklayın. Makroekonomik hedeflerin ilk açıklaması sonradan revize edilebilir; kalibrasyonu ilk açıklamaya mı yoksa daha sonra kesinleşen değere mi göre değerlendireceğinizi belirleyip bu tercihi koruyun. Geçmiş girdileri revize edilmiş verilerle değiştirmek, değerlendirmeye ilk tahmincinin erişemediği bilgiyi verebilir.

İşlem serilerinde kapanıştan kapanışa, gün içi ve gece getirisi bileşenlerini tutarlı eşleştirin. Birbirinin üzerine binen çok dönemli hedefler, komşu tahmin hataları arasında bağımlılık da yaratır. Ortak bir değerlendirme örneklemi önemlidir: bir modelin tahminleri özellikle oynak tarihlerde eksikse, farklı tarih bileşimi kalibrasyon farkı gibi görünebilir. Değerlendirilen tahmin serilerinde aynı hedef ve başlangıç takvimini kullanın.

Üretilmiş tahminleri modelin örneklem içi uyum değerlerinden ayırın. Model MZ regresyonunda kullanılan aynı gözlemlerle tahmin edilmişse, örneklem içi uyum kalibrasyon görüntüsü yaratabilir. Gelecekteki tahminlere ilişkin bir iddia için kronolojik örneklem dışı tahmin dizisi oluşturun, her başlangıçta yalnızca o an mevcut bilgiyi kullanarak modeli yeniden tahmin edin ve son doğrulama dönemini model veya eşik seçiminde kullanmayın.

Standart düzeyler regresyonu şöyledir:

yₜ = α + β fₜ + uₜ

Burada (yₜ) gerçekleşen hedefi, (fₜ) tahmini, (uₜ) regresyon artığını gösterir. Yaygın ortak kalibrasyon kısıtı şöyledir:

H₀: α = 0 ve β = 1

İki kısıt da geçerliyse, sonuç ile tahmin arasındaki uyarlanmış doğrusal ilişki özdeşlik doğrusudur. Sabit bir kaydırma gerekmez ve tahmindeki bir birimlik değişim, uyarlanmış sonuçta bir birimlik değişime karşılık gelir. Regresyonu tahmin ettikten sonra, örnekleme tasarımına uygun kovaryans tahmini kullanarak iki kısıtı Wald ya da eşdeğer bir F testiyle birlikte sınayın. Sabiti ve eğimi ayrı ayrı test etmek ortak kısıtı sınamakla aynı değildir.

Regresyon artığı (uₜ), ham tahmin hatası (yₜ − fₜ) ile otomatik olarak aynı değildir. Ortak sıfır hipotezinde eşittirler; hipotez sağlanmadığında tahmin edilen sabit ve eğim doğrusal kaymayı ve ölçek değişimini emer. Hem ortalama sapmayı hem kalibrasyon ilişkisini göstermek için katsayıların yanında ham tahmin hatasını da raporlayın.

MZ kısıtı bazen tahmin yansızlığı ya da rasyonelliği testi olarak adlandırılır. Tanımı açıkça belirtin. Sıfır koşulsuz ortalama hata, (E[yₜ − fₜ] = 0) koşuludur; ((α = 0, β = 1)) kısıtları belirli bir doğrusal ilişki dayatır ve genellikle daha güçlüdür. Holden ve Peel, kendi formülasyonlarında geleneksel ortak kısıtın tahmin yansızlığı için yeterli ama gerekli olmadığını gösterir (1990). Sınanan kısıtı belirtmeden “yansız” ve “MZ kalibrasyonu sağlıyor” ifadelerini birbirinin yerine kullanmayın.

<!-- learn:illustration -->

Üç varsayımsal tahmin ve daha sonra gerçekleşen sonuç şöyle olsun:

Tahminlerin ortalaması 2, sonuçların ortalaması da 2, ortalama tahmin hatası sıfırdır. Buna karşın değerler (yₜ = 1 + 0.5 fₜ) ilişkisini izler; dolayısıyla MZ regresyonunun sabiti (α = 1), eğimi (β = 0.5) olur, ((0,1)) olmaz. Hatalar ortalamada birbirini götürse de bu kurgusal örnekte gerçekleşen değerler tahminlerin değişiminin yalnızca yarısı kadar hareket eder; doğrusal kalibrasyon kısıtı başarısızdır.

Bu, aritmetiği göstermek için kurulmuş bir örnektir; piyasa verisi veya çıkarım örneklemi değildir. Gürültüsüz üç noktadan anlamlı bir p-değeri üretmek ya da gerçek bir tahmin sisteminin başarısız olduğunu iddia etmek doğru olmaz. Gerçek örneklemde ortak test tahmin belirsizliğini hesaba katar: büyük katsayı sapması belirsiz, küçük sapma ise yeterli gözlemle hassas biçimde tahmin edilmiş olabilir. Örnek yalnızca ortalama hata ile MZ kısıtlarının farklı sorulara yanıt verdiğini gösterir.

(1 + 0.5 fₜ) gibi bir yeniden kalibrasyon bu üç sonucu tam olarak verir; çünkü onlardan oluşturulmuştur. Bu, daha sonra da işe yarayacağını göstermez. Yeniden kalibrasyon tahmin prosedürünün parçasıysa katsayıları önceki eğitim döneminde tahmin edin ve ayarlanmış tahmini bu katsayıları belirlememiş daha sonraki veride değerlendirin.

Sabit (α), tahmin sıfırken uyarlanmış sonuçtur; pratik anlamı sıfırın tahmin aralığında ya da yakınında olup olmamasına bağlıdır. Eğim (β), tahmin değerleri değiştikçe uyarlanmış sonuçların ne kadar değiştiğini gösterir. Sabit hesaba katıldığında birin altındaki eğim, tahminin uyarlanmış sonuçtan daha fazla değiştiği; birin üzerindeki eğim ise uyarlanmış sonucun daha fazla değiştiği anlamına gelir. Diğer katsayı da serbest bırakılmışsa tek başına hiçbiri ilişkinin tamamını anlatmaz.

Yüksek bir (R²), kalibrasyonu kanıtlamaz. Örneğin gürültüsüz (yₜ = 2 + 1.1 fₜ) ilişkisinde (R² = 1) olur, ancak sabit ve eğim MZ sıfır hipotezini karşılamaz. (R²), doğrusal uyumun açıkladığı değişim miktarını özetler; ortak test bu doğrunun özdeşlik doğrusu olup olmadığını sorar. Tersine, gürültülü bir tahminde ortak kısıt reddedilmese bile (R²) düşük olabilir. Kalibrasyon ve hassasiyet ilişkili fakat farklı özelliklerdir.

Kalibrasyon sonucunu yalnızca iki ayrı t-istatistiğinden çıkarmayın. Sabit ve eğim tahminleri ilişkili olabilir; ortak Wald/F istatistiği bunların kovaryansını kullanır. (α), (β), belirsizlikleri, ortak istatistik ve p-değeri, örneklem büyüklüğü ve ham ortalama hatayı raporlayın. Yararlıysa özdeşlik doğrusuyla birlikte saçılım grafiği veya gruplanmış karşılaştırma gösterin; veriyi gördükten sonra aralık seçtiyseniz bunu açıklayın. Doğrusal test eğri biçimli uyumsuzluğu, rejim değişimini veya kuyruklardaki hataları kaçırabilir.

Kare hata kaybı altında optimal nokta tahmin, hedefin tahmincinin bilgi kümesine koşullu beklenen değeridir. Bu koşul, tahmin yapılırken zaten mevcut olan bilginin daha sonraki hataları öngörememesini gerektirir. MZ regresyonu yalnızca sabit ve tahminin kendisini içeren doğrusal ilişkiyi sınar; bilgi kümesindeki diğer değişkenleri otomatik olarak test etmez.

Daha güçlü bir tanılama, önceden belirlenmiş bilgi değişkenlerini (zₜ) tahmin hatası regresyonuna ekleyebilir:

yₜ − fₜ = δ₀ + δ₁ zₜ + vₜ

Tahmin başlangıcında bilinen bir değişken daha sonraki hataları öngörüyorsa, tahmin kullanılabilir bilgiyi yeterince değerlendirmemiş olabilir. Değişkenlerin zamanlaması doğru olmalı ve seçimleri dikkatle yapılmalıdır. Çok sayıda gecikme, piyasa durumu ve dönüşüm denemek yeni bir çoklu arama sorunu yaratır. Kısa bir değişken listesinde öngörü gücü bulunmaması, tüm bilgi kümesine göre etkinliği kanıtlamaz.

Zarnowitz anket tahminlerini değerlendirirken yanlılık, seri korelasyon, örneklem büyüklüğü ve test gücünü ele alır (NBER Çalışma Belgesi 1070, 1983). Bu nedenle MZ'yi doğrusal bir kalibrasyon tanılaması veya sınırlı bir tahmin etkinliği kontrolü olarak tanımlayın; tahmincinin ilgili tüm bilgiyi en iyi biçimde kullandığının kanıtı olarak sunmayın. Giacomini–White rehberi, seçilmiş kayıp momentlerine dayanan farklı bir koşullu karşılaştırmayı ele alır.

Tahmin hataları değişen varyanslı, seri bağımlı veya örtüşen yapıda olabilir; bu durum özellikle kayan çok adımlı tahminlerde görülür. Standart OLS katsayı formülleri, ortak kısıt için geçerli standart hataları tek başına garanti etmez. Tahmin ufkuna, bağımlılık örüntüsüne ve tahmin yöntemine uygun bir çıkarım prosedürü kullanın ve bunu raporlayın. Her tasarıma uyan tek bir otomatik bant genişliği ya da düzeltme yoktur.

Tahminlerin model parametrelerinden elde edilmesi başka bir sorun doğurur. Aynı kısa örneklem model parametrelerini tahmin etmek, kalibrasyon ayarı oluşturmak ve bunu sınamak için kullanılırsa olağan regresyon belirsizliği tüm prosedürü yansıtmayabilir. İç içe geçmiş tahminlerin doğruluk karşılaştırmalarında sıfır dağılımı da standart dışı olabilir. Gerçek tahmin üretim süreci için türetilmiş bir sonuç kullanın veya bütünüyle tanımlanmış kalibrasyon adımını daha sonraki bir ayırma örnekleminde değerlendirin. Birçok regresyon biçimi, hedef ve örneklemi deneyip son p-değerini doğrulayıcı sonuç gibi sunmayın.

Sıfır hipotezini reddedememek tahminin kalibre olduğunu kanıtlamaz; düşük test gücü veya geniş güven aralığı söz konusu olabilir. Reddetme de hedefe, örnekleme, doğrusal biçime ve kovaryans tahminine bağlıdır. Makul değerlendirme tercihlerine karşı duyarlılığı inceleyin, ancak bu kontrolleri önceden belirlenmiş testten ayırıp açıklayın. Tahminler çok kalıcıysa veya örneklemde bağımsız dönem sayısı azsa bu özellikle önemlidir.

MZ, tahmin ile gerçekleşen hedef arasındaki doğrusal kalibrasyon kısıtını sınar. Diebold–Mariano testi ise seçilen bir puana göre iki tahmin prosedürünün ortalama kayıplarının eşit olup olmadığını sorar. Bir tahmin iyi kalibre edilip bu puana göre daha az doğru olabilir; ya da ortalama olarak daha doğru olup MZ kalibrasyon kısıtını karşılamayabilir.

Soru, tahmin başlangıcında bilinen bilgiye bağlı olarak doğruluğun değişip değişmediğiyse Giacomini–White testi seçilen koşullu kayıp momentlerini değerlendirir. Çok sayıda tahmin veya işlem kuralı taranmış ve aday ailesi hakkında karar verilecekse Model Confidence Set ya da White Reality Check/Hansen SPA gibi aile düzeyinde prosedürler farklı bir seçim sorununu ele alır. Bu yöntemlerin hiçbiri hedefi ve dürüst tahmin başlangıçlarını açıkça tanımlamanın yerini tutmaz.

Standart MZ düzeyler regresyonu sayısal bir hedefin nokta tahminleri içindir. Kantil, olasılık, aralık ve yoğunluk tahminlerinde ilgili tahmin nesnesine uygun kalibrasyon testleri ve puanlama kuralları gerekir. Ortalama tahminindeki iyi bir sonuç, ayrıca gerekçe sunmadan kuyruk riski tahminine veya oynaklık dağılımına taşınmamalıdır.

Tahmin hedefini, ufkunu, birimlerini, bilgi kesimini, değerlendirme tarihlerini, veri vintajını ve tahminlerin gerçekten örneklem dışı olup olmadığını belirtin. Tam regresyon denklemini, tahmin hatasının tanımını ve sınanan kısıtları verin. “Yansızlık” ile ortalama hatanın sıfırını mı yoksa ortak MZ kısıtını ((α = 0, β = 1)) mı kastettiğinizi açıklayın.

Katsayı tahminlerini, standart hataları veya güven aralıklarını, ortak Wald/F istatistiğini, serbestlik derecelerini, p-değerini, tahmin başlangıcı sayısını, ortalama ham hatayı ve sınırlı yorumuyla birlikte (R²)'yi raporlayın. Ufuklar örtüşüyor veya hatalar seri bağımlıysa kovaryans ya da yeniden örnekleme yöntemini açıklayın. Model tahmini, yeniden kalibrasyon, seçim ve denenen alternatif hedef, örneklem veya dönüşümleri belirtin.

Şeffaf raporlama, okuyucunun ortalama yanlılığı, doğrusal kalibrasyonu, bilgi etkinliğini ve göreli doğruluğu birbirinden ayırmasını sağlar. Bunlar ayrı ampirik iddialardır. Tek bir regresyon kısıtını geçmek tahminin her kullanımını doğrulamaz; tahmin değerlendirmesi de işlem maliyetleri sonrası kârlılığı tek başına kanıtlamaz.