การถดถอย Mincer–Zarnowitz: ทดสอบอคติและการปรับเทียบของการพยากรณ์

สมมติว่าแบบจำลองกลยุทธ์ทำนายผลตอบแทนหนึ่งช่วงเวลา หรือนักเศรษฐศาสตร์ทำนายการเติบโตของไตรมาสถัดไป ค่าคลาดเคลื่อนของการพยากรณ์ในตัวอย่างประเมินอาจมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ นี่เป็นหลักฐานที่มีประโยชน์ในการตรวจสอบว่าแบบจำลองคาดการณ์สูงหรือต่ำอย่างต่อเนื่องหรือไม่ แต่ไม่ได้แสดงว่าค่าพยากรณ์เปลี่ยนแปลงสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับผลลัพธ์ภายหลัง ค่าพยากรณ์อาจผันผวนมากเกินไป ถูกบีบให้แคบเกินไป หรือมีการเลื่อนเชิงเส้น โดยค่าคลาดเคลื่อนบวกและลบหักล้างกันได้

การถดถอย MZ ทำให้คำถามข้อที่สองเห็นได้ชัดขึ้น ด้วยการถดถอยผลลัพธ์จริงบนค่าพยากรณ์ Mincer และ Zarnowitz นำกรอบนี้มาใช้ในการประเมินการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ (บทความปี 1969) วิธีนี้เป็นเครื่องมือวินิจฉัยสำหรับค่าพยากรณ์แบบจุดของเป้าหมายเชิงตัวเลข โดยเฉพาะเมื่อมุ่งทำนายค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขภายใต้การสูญเสียกำลังสอง ไม่ใช่การเปรียบเทียบว่าแบบจำลองสองแบบใดมีการสูญเสียเฉลี่ยต่ำกว่า คำถามนั้นเป็นคนละเรื่องและอธิบายในคู่มือ Diebold–Mariano

ความแตกต่างนี้สำคัญในการศึกษาการซื้อขายด้วย ค่าพยากรณ์ผลตอบแทนอาจมีอคติเฉลี่ยน้อยแต่มีสเกลผิด ส่วนค่าพยากรณ์ความผันผวนอาจสูงเกินไปในบางช่วงและต่ำเกินไปในอีกช่วงหนึ่ง การถดถอยช่วยชี้ความไม่สอดคล้องเชิงเส้น แต่ผลขึ้นกับตัวอย่างประเมิน นิยามเป้าหมาย เวลาที่ข้อมูลพร้อมใช้ และวิธีอนุมานทางสถิติ การทดสอบนี้เพียงอย่างเดียวไม่ได้แสดงว่าสามารถเปลี่ยนค่าพยากรณ์เป็นกฎซื้อขายที่ทำกำไรได้

สำหรับจุดเริ่มพยากรณ์แต่ละจุด (t) ให้จับคู่ค่าพยากรณ์ (f_{t+h\mid t}) กับค่าเป้าหมายจริงในภายหลัง (y_{t+h}) ซึ่งเป็นค่าที่ต้องการพยากรณ์ ณ ระยะคงที่ (h) เพื่อให้สมการกระชับ ต่อไปจะเขียนคู่ข้อมูลที่จับกันแล้วเป็น ((f_t,y_t)) โดยดัชนีนี้ใช้ระบุคู่ข้อมูลแต่ละคู่ แม้ค่าพยากรณ์จะเกิดขึ้นก่อนหน้าที่จุดตัดข้อมูลเดิม ทั้งสองค่าต้องอ้างถึงตัวแปร ระยะพยากรณ์ หน่วย และหลักการกำหนดเวลาเดียวกัน หากค่าพยากรณ์เป็นผลตอบแทนห้าวันแต่ใช้ผลตอบแทนหนึ่งวันเป็นผลลัพธ์ การถดถอยก็ไม่ได้ตรวจการปรับเทียบสำหรับเป้าหมายที่ตั้งใจไว้

ใช้เฉพาะค่าพยากรณ์ที่มีอยู่จริง ณ จุดเริ่มแต่ละจุด และเก็บค่าพยากรณ์ รุ่นแบบจำลอง รุ่นของข้อมูล และจุดตัดข้อมูลไว้ สำหรับเป้าหมายเศรษฐกิจมหภาค ประกาศตัวเลขครั้งแรกอาจถูกปรับปรุงภายหลัง ให้กำหนดว่าจะประเมินการปรับเทียบกับประกาศครั้งแรกหรือค่าฉบับปรับปรุงสุดท้าย แล้วใช้เกณฑ์นั้นอย่างสม่ำเสมอ การแทนข้อมูลในอดีตด้วยข้อมูลที่แก้ไขแล้วอาจทำให้การประเมินเข้าถึงข้อมูลที่ผู้พยากรณ์เดิมไม่มี

สำหรับอนุกรมการซื้อขาย ให้จัดองค์ประกอบผลตอบแทนจากราคาปิดถึงราคาปิด ภายในวัน และข้ามคืนให้สอดคล้องกัน เป้าหมายหลายช่วงเวลาที่ทับซ้อนกันยังทำให้ค่าคลาดเคลื่อนข้างเคียงพึ่งพากันด้วย ตัวอย่างประเมินร่วมกันก็สำคัญ หากแบบจำลองหนึ่งไม่มีค่าพยากรณ์ในวันที่ผันผวนเป็นพิเศษ ความต่างขององค์ประกอบวันอาจดูเหมือนเป็นปัญหาการปรับเทียบ ควรใช้เป้าหมายและตารางจุดเริ่มเดียวกันกับชุดค่าพยากรณ์ที่กำลังประเมิน

แยกค่าพยากรณ์ที่สร้างขึ้นจริงออกจากค่าที่แบบจำลองปรับให้เข้ากับข้อมูล หากประมาณแบบจำลองจากข้อมูลชุดเดียวกับที่ใช้ในการถดถอย MZ การเข้ากับข้อมูลในตัวอย่างอาจทำให้ดูเหมือนปรับเทียบได้ หากต้องการกล่าวถึงการพยากรณ์อนาคต ให้สร้างลำดับค่าพยากรณ์นอกตัวอย่างตามลำดับเวลา ประมาณแบบจำลองใหม่โดยใช้เฉพาะข้อมูลที่มี ณ แต่ละจุดเริ่ม และกันช่วงยืนยันผลสุดท้ายออกจากการเลือกแบบจำลองหรือเกณฑ์ตัดสิน

สมการถดถอยระดับมาตรฐานคือ

yₜ = α + β fₜ + uₜ

โดย (yₜ) คือค่าเป้าหมายจริง (fₜ) คือค่าพยากรณ์ และ (uₜ) คือเศษเหลือจากการถดถอย ข้อจำกัดร่วมด้านการปรับเทียบที่ใช้กันทั่วไปคือ

H₀: α = 0 และ β = 1

หากข้อจำกัดทั้งสองเป็นจริง ความสัมพันธ์เชิงเส้นที่ประมาณได้ระหว่างผลลัพธ์กับค่าพยากรณ์คือเส้นเอกลักษณ์ ไม่ต้องมีค่าชดเชยคงที่ และการเปลี่ยนค่าพยากรณ์หนึ่งหน่วยสอดคล้องกับการเปลี่ยนของผลลัพธ์ที่ประมาณได้หนึ่งหน่วย หลังประมาณสมการแล้ว ให้ทดสอบข้อจำกัดทั้งคู่พร้อมกันด้วย Wald หรือ F-test ที่เทียบเท่า โดยใช้การประมาณความแปรปรวนร่วมที่เหมาะกับแบบแผนการสุ่มตัวอย่าง การทดสอบจุดตัดแกนกับความชันแยกกันไม่เท่ากับการทดสอบข้อจำกัดร่วม

เศษเหลือ (uₜ) ไม่ได้เท่ากับค่าคลาดเคลื่อนพยากรณ์ดิบ (yₜ − fₜ) เสมอไป ทั้งสองเท่ากันภายใต้สมมติฐานศูนย์ร่วม แต่เมื่อสมมติฐานไม่เป็นจริง จุดตัดแกนและความชันที่ประมาณได้จะดูดซับการเลื่อนและการปรับสเกลเชิงเส้น ควรรายงานค่าคลาดเคลื่อนพยากรณ์ดิบควบคู่กับสัมประสิทธิ์ เพื่อให้เห็นทั้งความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยและความสัมพันธ์การปรับเทียบ

ข้อจำกัด MZ มักถูกเรียกว่าการทดสอบความไม่เอนเอียงหรือความมีเหตุผลของการพยากรณ์ ควรระบุนิยามที่ใช้ให้ชัด ค่าเฉลี่ยแบบไม่มีเงื่อนไขของค่าคลาดเคลื่อนเป็นศูนย์คือ (E[yₜ − fₜ] = 0) ส่วนข้อจำกัด ((α = 0, β = 1)) กำหนดความสัมพันธ์เชิงเส้นแบบเฉพาะและมักเข้มงวดกว่า Holden และ Peel แสดงว่าข้อจำกัดร่วมแบบดั้งเดิมเป็นเงื่อนไขเพียงพอแต่ไม่จำเป็นสำหรับความไม่เอนเอียงภายใต้กรอบนิยามของพวกเขา (1990) อย่าใช้คำว่า “ไม่เอนเอียง” และ “ปรับเทียบตาม MZ” แทนกันโดยไม่ระบุข้อจำกัดที่ทดสอบ

<!-- learn:illustration -->

สมมติว่ามีค่าพยากรณ์และผลลัพธ์จริงภายหลังสามคู่ดังนี้

ค่าเฉลี่ยของค่าพยากรณ์คือ 2 ค่าเฉลี่ยผลลัพธ์ก็เท่ากับ 2 และค่าคลาดเคลื่อนพยากรณ์เฉลี่ยเป็นศูนย์ แต่ข้อมูลเป็นไปตาม (yₜ = 1 + 0.5 fₜ) ดังนั้นการถดถอย MZ มีจุดตัดแกน (α = 1) และความชัน (β = 0.5) ไม่ใช่ ((0,1)) ค่าคลาดเคลื่อนหักล้างกันเมื่อคิดค่าเฉลี่ย แม้ข้อจำกัดการปรับเทียบเชิงเส้นจะไม่ผ่าน เพราะในตัวอย่างที่สร้างขึ้นนี้ผลลัพธ์จริงเปลี่ยนเพียงครึ่งหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงค่าพยากรณ์

นี่เป็นตัวอย่างเลขคณิตที่สร้างขึ้นเพื่ออธิบาย ไม่ใช่ข้อมูลตลาดหรือตัวอย่างสำหรับการอนุมาน จุดสามจุดที่ไม่มีสัญญาณรบกวนไม่เหมาะกับการรายงาน p-value ที่มีความหมายหรือการกล่าวว่าระบบพยากรณ์จริงล้มเหลว ในตัวอย่างจริง การทดสอบร่วมคำนึงถึงความไม่แน่นอนในการประมาณ ค่าสัมประสิทธิ์ที่คลาดจากสมมติฐานมากอาจประมาณได้ไม่แม่น ส่วนค่าคลาดเพียงเล็กน้อยก็อาจประมาณได้แม่นหากมีข้อมูลมากพอ ตัวอย่างนี้แสดงเพียงว่าค่าคลาดเคลื่อนเฉลี่ยกับข้อจำกัด MZ ตอบคนละคำถาม

การปรับเทียบใหม่แบบ (1 + 0.5 fₜ) จะสร้างผลลัพธ์สามจุดนี้ได้พอดี เพราะสร้างจากข้อมูลเหล่านั้น ไม่ได้แปลว่าจะใช้ได้ดีในอนาคต หากการปรับเทียบใหม่เป็นส่วนหนึ่งของขั้นตอนพยากรณ์ ให้ประมาณสัมประสิทธิ์จากช่วงฝึกก่อนหน้า แล้วประเมินค่าพยากรณ์ที่ปรับแล้วด้วยข้อมูลภายหลังซึ่งไม่ได้ใช้กำหนดสัมประสิทธิ์

จุดตัดแกน (α) คือผลลัพธ์ที่ประมาณได้เมื่อค่าพยากรณ์เป็นศูนย์ ความหมายเชิงปฏิบัติจึงขึ้นกับว่าศูนย์อยู่ในหรือใกล้ช่วงค่าพยากรณ์หรือไม่ ความชัน (β) อธิบายว่าผลลัพธ์ที่ประมาณได้เปลี่ยนมากเพียงใดเมื่อค่าพยากรณ์เปลี่ยน เมื่อคำนึงถึงจุดตัดแกนแล้ว ความชันต่ำกว่าหนึ่งหมายถึงค่าพยากรณ์เปลี่ยนมากกว่าผลลัพธ์ที่ประมาณได้ ส่วนความชันสูงกว่าหนึ่งหมายถึงผลลัพธ์ที่ประมาณได้เปลี่ยนมากกว่า หากอีกสัมประสิทธิ์หนึ่งก็ไม่ได้ถูกจำกัด การดูตัวใดตัวหนึ่งเพียงอย่างเดียวไม่อธิบายความสัมพันธ์ทั้งหมด

ค่า (R²) สูงไม่ได้พิสูจน์การปรับเทียบ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ที่ไม่มีสัญญาณรบกวน (yₜ = 2 + 1.1 fₜ) มี (R² = 1) แต่จุดตัดแกนและความชันไม่ผ่านสมมติฐานศูนย์ MZ ค่า (R²) สรุปสัดส่วนความแปรปรวนที่อธิบายได้ด้วยเส้นตรง ส่วนการทดสอบร่วมถามว่าเส้นดังกล่าวเป็นเส้นเอกลักษณ์หรือไม่ ในทางกลับกัน ค่าพยากรณ์ที่มีสัญญาณรบกวนอาจมี (R²) ต่ำแม้จะไม่ปฏิเสธข้อจำกัดร่วม การปรับเทียบกับความแม่นยำเป็นคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกันแต่ไม่เหมือนกัน

อย่าสรุปผลการปรับเทียบจาก t-statistic แยกสองค่าเท่านั้น ค่าประมาณจุดตัดแกนและความชันอาจสัมพันธ์กัน ดังนั้นสถิติ Wald/F ร่วมจึงใช้ความแปรปรวนร่วม รายงาน (α), (β), ความไม่แน่นอน สถิติร่วมและ p-value ขนาดตัวอย่าง และค่าคลาดเคลื่อนดิบเฉลี่ย หากมีประโยชน์ ให้แสดงกราฟกระจายหรือค่าเฉลี่ยเป็นช่วงพร้อมเส้นเอกลักษณ์ และระบุหากเลือกช่วงหลังจากดูข้อมูลแล้ว การทดสอบเชิงเส้นอาจพลาดการปรับเทียบผิดรูปแบบโค้ง การเปลี่ยนระบอบ หรือค่าคลาดเคลื่อนเฉพาะส่วนหาง

ภายใต้การสูญเสียกำลังสอง ค่าพยากรณ์แบบจุดที่เหมาะสมที่สุดคือค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขของเป้าหมายเมื่อกำหนดสารสนเทศที่ผู้พยากรณ์มี ข้อกำหนดนี้หมายความว่าไม่ควรใช้ข้อมูลที่มีอยู่แล้ว ณ เวลาพยากรณ์มาทำนายค่าคลาดเคลื่อนภายหลังได้ การถดถอย MZ ตรวจเพียงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างค่าคงที่กับค่าพยากรณ์ ไม่ได้ทดสอบตัวแปรอื่นทุกตัวในสารสนเทศนั้นโดยอัตโนมัติ

การวินิจฉัยที่เข้มงวดขึ้นอาจเพิ่มตัวแปรสารสนเทศ (zₜ) ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าลงในการถดถอยค่าคลาดเคลื่อน เช่น

yₜ − fₜ = δ₀ + δ₁ zₜ + vₜ

หากตัวแปรที่ทราบ ณ จุดเริ่มพยากรณ์ทำนายค่าคลาดเคลื่อนภายหลังได้ แสดงว่าผู้พยากรณ์อาจยังไม่ได้ใช้ข้อมูลที่มีให้เต็มที่ ต้องกำหนดเวลาของตัวแปรให้ถูกต้องและเลือกอย่างระมัดระวัง การทดลองกับ lag สภาวะตลาด และการแปลงค่าจำนวนมากสร้างปัญหาการค้นหาหลายครั้งขึ้นมาอีก การไม่พบความสามารถในการทำนายในตัวแปรไม่กี่ตัวไม่ได้พิสูจน์ประสิทธิภาพเทียบกับสารสนเทศทั้งหมด

Zarnowitz กล่าวถึงอคติ สหสัมพันธ์ตามลำดับเวลา ขนาดตัวอย่าง และกำลังการทดสอบในการประเมินค่าพยากรณ์จากแบบสำรวจ (NBER Working Paper 1070, 1983) ดังนั้นให้อธิบาย MZ ว่าเป็นการวินิจฉัยการปรับเทียบเชิงเส้นหรือการตรวจประสิทธิภาพแบบจำกัด ไม่ใช่หลักฐานว่าผู้พยากรณ์ใช้ข้อมูลที่เกี่ยวข้องทั้งหมดได้อย่างเหมาะสม คู่มือ Giacomini–White กล่าวถึงการเปรียบเทียบแบบมีเงื่อนไขอีกแบบหนึ่งจากโมเมนต์การสูญเสียที่เลือกไว้

ค่าคลาดเคลื่อนพยากรณ์อาจมีความแปรปรวนไม่คงที่ สหสัมพันธ์ตามเวลา หรือช่วงเวลาทับซ้อน โดยเฉพาะกับค่าพยากรณ์หลายช่วงแบบ rolling สูตรสัมประสิทธิ์ OLS ปกติไม่ได้รับประกันโดยลำพังว่าค่า standard error ของข้อจำกัดร่วมจะถูกต้อง ใช้วิธีอนุมานที่เหมาะกับระยะพยากรณ์ รูปแบบการพึ่งพากัน และวิธีประมาณ แล้วรายงานให้ชัด ไม่มี bandwidth หรือการแก้ไขแบบอัตโนมัติสูตรเดียวที่เหมาะกับทุกแบบแผน

ค่าพยากรณ์ที่ประมาณจากแบบจำลองมีความซับซ้อนเพิ่ม หากตัวอย่างสั้นชุดเดียวถูกใช้ประมาณพารามิเตอร์ สร้างการปรับเทียบ และทดสอบการปรับนั้น ความไม่แน่นอนจากการถดถอยทั่วไปอาจไม่ครอบคลุมขั้นตอนทั้งหมด การแจกแจงภายใต้สมมติฐานศูนย์สำหรับการเปรียบเทียบค่าพยากรณ์ของแบบจำลองซ้อนกันก็อาจไม่เป็นมาตรฐาน ใช้ผลลัพธ์ที่พัฒนาสำหรับวิธีสร้างค่าพยากรณ์จริง หรือกำหนดขั้นตอนปรับเทียบให้ครบถ้วนแล้วประเมินกับข้อมูล holdout ภายหลัง อย่าลองรูปแบบถดถอย เป้าหมาย และตัวอย่างจำนวนมาก แล้วถือ p-value สุดท้ายเป็นผลยืนยัน

การไม่ปฏิเสธสมมติฐานไม่ได้พิสูจน์ว่าค่าพยากรณ์ปรับเทียบแล้ว อาจเกิดจากกำลังการทดสอบต่ำหรือช่วงความเชื่อมั่นกว้าง การปฏิเสธก็ขึ้นกับเป้าหมาย ตัวอย่าง รูปแบบเชิงเส้น และการประมาณความแปรปรวนร่วม ตรวจความไวต่อทางเลือกประเมินที่สมเหตุสมผล แต่แยกการตรวจเหล่านั้นออกจากการทดสอบที่กำหนดไว้ล่วงหน้า เรื่องนี้สำคัญเป็นพิเศษเมื่อค่าพยากรณ์มีความต่อเนื่องสูงหรือตัวอย่างมีเหตุการณ์อิสระเพียงไม่กี่ครั้ง

MZ ทดสอบข้อจำกัดการปรับเทียบเชิงเส้นระหว่างค่าพยากรณ์กับเป้าหมายจริง ส่วนการทดสอบ Diebold–Mariano ถามว่าค่าเสียหายเฉลี่ยของวิธีพยากรณ์สองวิธีเท่ากันหรือไม่ภายใต้คะแนนที่เลือก ค่าพยากรณ์หนึ่งอาจปรับเทียบดีแต่มีความแม่นยำน้อยกว่าตามคะแนนนั้น หรืออาจแม่นยำกว่าโดยเฉลี่ยแต่ไม่ผ่านข้อจำกัด MZ

หากต้องการทราบว่าความแม่นยำเปลี่ยนตามข้อมูลที่รู้ ณ จุดเริ่มพยากรณ์หรือไม่ การทดสอบ Giacomini–White จะประเมินโมเมนต์การสูญเสียแบบมีเงื่อนไขที่เลือกไว้ หากค้นค่าพยากรณ์หรือกฎซื้อขายจำนวนมากและต้องการประเมินกลุ่มผู้สมัคร ขั้นตอนระดับกลุ่ม เช่น Model Confidence Set หรือ White Reality Check/Hansen SPA จัดการปัญหาการคัดเลือกอีกแบบหนึ่ง ไม่มีวิธีใดแทนการกำหนดเป้าหมายและจุดเริ่มพยากรณ์อย่างตรงไปตรงมา

การถดถอยระดับ MZ มาตรฐานเหมาะกับค่าพยากรณ์แบบจุดของเป้าหมายเชิงตัวเลข ค่าพยากรณ์ควอนไทล์ ความน่าจะเป็น ช่วง หรือความหนาแน่น ต้องใช้การทดสอบการปรับเทียบและคะแนนที่เหมาะกับวัตถุการพยากรณ์นั้น ผลที่ดีสำหรับค่าพยากรณ์ค่าเฉลี่ยไม่ควรถูกนำไปอ้างกับความเสี่ยงส่วนหางหรือการแจกแจงความผันผวนโดยไม่มีเหตุผลรองรับแยกต่างหาก

ระบุเป้าหมาย ระยะพยากรณ์ หน่วย จุดตัดข้อมูล วันที่ประเมิน รุ่นข้อมูล และค่าพยากรณ์เป็นข้อมูลนอกตัวอย่างจริงหรือไม่ ให้สมการถดถอยที่แน่นอน นิยามค่าคลาดเคลื่อน และข้อจำกัดที่ทดสอบ อธิบายว่า “ไม่เอนเอียง” หมายถึงค่าเฉลี่ยความคลาดเคลื่อนเป็นศูนย์ หรือหมายถึงข้อจำกัดร่วม MZ ((α = 0, β = 1))

รายงานค่าสัมประสิทธิ์ standard error หรือช่วงความเชื่อมั่น สถิติ Wald/F ร่วม องศาอิสระ p-value จำนวนจุดเริ่มพยากรณ์ ค่าคลาดเคลื่อนดิบเฉลี่ย และ (R²) พร้อมคำอธิบายข้อจำกัดของการตีความ อธิบายวิธีประมาณความแปรปรวนร่วมหรือการสุ่มซ้ำ โดยเฉพาะเมื่อระยะพยากรณ์ทับซ้อนหรือค่าคลาดเคลื่อนพึ่งพากันตามเวลา เปิดเผยการประมาณแบบจำลอง การปรับเทียบใหม่ การเลือก และเป้าหมาย ตัวอย่าง หรือการแปลงค่าอื่นที่ได้ลอง

รายงานอย่างโปร่งใสช่วยให้ผู้อ่านแยกอคติเฉลี่ย การปรับเทียบเชิงเส้น ประสิทธิภาพด้านสารสนเทศ และความแม่นยำเชิงเปรียบเทียบออกจากกัน ทั้งหมดเป็นข้ออ้างเชิงประจักษ์คนละอย่าง การผ่านข้อจำกัดในการถดถอยหนึ่งข้อไม่ได้ยืนยันการใช้ค่าพยากรณ์ทุกรูปแบบ และการประเมินค่าพยากรณ์ก็ไม่ได้พิสูจน์กำไรสุทธิจากการซื้อขายหลังหักต้นทุน