Processos de Lévy e compensadores de saltos explicados
Entenda incrementos estacionários e independentes, o trio de Lévy, a decomposição de Lévy–Itô, saltos compensados, usos financeiros e limites do modelo
Resposta direta
Um processo de Lévy tem incrementos estacionários e independentes e trajetórias càdlàg. Seu drift, sua variância browniana e sua medida de Lévy descrevem o comportamento contínuo e de saltos; a compensação separa a intensidade previsível dos saltos da surpresa
Incrementos estacionários e independentes definem o relógio
Para um processo de Lévy X, incrementos em intervalos disjuntos são independentes e a lei de X_{t+h}-X_t depende apenas de h
Continuidade estocástica exclui descontinuidades fixas em probabilidade, enquanto uma versão càdlàg fornece trajetórias contínuas à direita com limites à esquerda
Assim, o modelo tem uma lei de incrementos homogênea no tempo, uma premissa forte que é útil analiticamente, mas testável empiricamente
O trio de Lévy identifica o processo
Uma convenção de truncamento produz um trio (b, σ², ν): drift, variância browniana e medida de saltos de Lévy
A medida ν registra a intensidade esperada dos saltos por tamanho e precisa satisfazer ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞
Mudar a função de truncamento pode alterar o drift b informado, mas não a lei quando todos os termos do trio são transformados de forma consistente
Lévy–Khintchine funciona no espaço de Fourier
A função característica tem a forma E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u)), em que ψ é determinada pelo trio
Incrementos estacionários e independentes transformam a convolução ao longo do tempo em multiplicação, que se torna uma escala linear do expoente característico
Essa estrutura apoia métodos de Fourier para opções, mas a inversão numérica ainda precisa de controles de amortecimento, grade e truncamento
Lévy–Itô separa fontes distintas de movimento
A decomposição escreve X como drift, um componente browniano, saltos grandes e saltos pequenos compensados
Saltos grandes têm intensidade de chegada finita acima de qualquer limite fixo; infinitos saltos pequenos podem ocorrer em tempo finito
Atividade infinita e variação infinita são propriedades diferentes, portanto é preciso examinar as integrais de ν, em vez de inferir uma a partir da outra
A compensação cria um termo martingal de saltos
Seja N(dt,dx) a contagem de saltos de tamanho x; para um processo de Lévy, seu compensador é dtν(dx)
A medida compensada Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) subtrai as chegadas previsíveis de saltos e integra surpresas adequadas em um martingal local
A soma bruta dos saltos e a integral compensada têm drifts diferentes, portanto alternar entre elas sem ajustar a variação finita altera o modelo
Modelos exponenciais de Lévy precisam de uma correção de drift
Modelos de ativos frequentemente definem S_t = S_0e^{X_t} ou usam um exponencial estocástico, mas positividade por si só não torna o preço descontado um martingal
O expoente característico precisa satisfazer a condição relevante de momento exponencial e de martingal sob a medida de precificação escolhida
Saltos criam risco não replicado, portanto medidas de martingal equivalentes podem não ser únicas e a precificação exige uma regra adicional de seleção
Flexibilidade não elimina o risco de modelo
Saltos de Lévy podem ajustar assimetria, caudas pesadas e smiles de curto prazo melhor do que uma difusão pura
Incrementos estacionários e independentes excluem agrupamento de volatilidade, dinâmica de alavancagem e intensidade variável de saltos, a menos que o modelo seja ampliado
Verifique existência de momentos, truncamento de saltos pequenos, correção de martingal, estabilidade da calibração, extrapolação de cauda e erro de hedge fora da amostra
Perguntas frequentes
O que é um processo de Lévy em termos simples?
É um movimento aleatório homogêneo no tempo cujos incrementos não sobrepostos são independentes e podem incluir difusão e saltos
O que a medida de Lévy descreve?
Ela descreve a intensidade de chegada dos saltos por tamanho, incluindo atividade potencialmente infinita perto de zero
Por que compensar uma medida de saltos?
Subtrair sua intensidade previsível deixa uma surpresa de saltos centrada que pode servir como integrador de martingal
Todos os modelos de Lévy são modelos com saltos?
Não. O movimento browniano com drift é um processo de Lévy com medida de Lévy zero; os saltos aparecem somente quando ν é diferente de zero