Método COS para precificação de opções explicado
Saiba como o método COS combina uma densidade truncada, coeficientes de cossenos de Fourier, coeficientes de payoff e controles de convergência para precificar opções
Resposta direta
O método COS trunca uma distribuição de log-preço em um intervalo finito, expande sua densidade em uma série de cossenos e obtém coeficientes a partir da função característica. Coeficientes de payoff então transformam a expansão em um preço de opção
COS é um método de precificação por série de Fourier
Suponha que um estado terminal de log-preço X tenha uma função característica conhecida e que uma opção pague v(X) no vencimento
Depois do desconto sob a medida de precificação correspondente, o valor desejado é uma integral de v(x) contra a densidade condicional de X
COS aproxima essa integral com uma série finita de cossenos, em vez de simular caminhos ou resolver uma grade de preços de trás para frente no tempo
O intervalo de estados infinito é truncado primeiro
Como os log-preços normalmente vivem na reta real, o método escolhe um intervalo finito [a,b] que contenha a maior parte da massa de probabilidade economicamente relevante
Probabilidade fora de [a,b] cria erro de truncagem do domínio antes que quaisquer termos de cosseno sejam omitidos
Um intervalo estreito demais perde caudas; um intervalo desnecessariamente amplo exige mais termos para resolver as mesmas características locais
Funções características fornecem coeficientes da densidade
Em [a,b], a densidade é expandida em cos(kπ(x−a)/(b−a)) para inteiros não negativos k
Seus coeficientes de cosseno são aproximados a partir de Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}, evitando recuperar explicitamente a densidade completa
O termo de frequência zero recebe metade do peso na soma usual com primo, uma pequena convenção que afeta materialmente o nível do preço
Coeficientes do payoff completam a fórmula do preço
Cada coeficiente da densidade é multiplicado pela integral correspondente de v(x) contra a base de cossenos em [a,b]
Para calls e puts europeias, esses coeficientes de payoff têm formas analíticas; outros payoffs podem precisar de integração numérica estável
Depois que os coeficientes do modelo e do payoff são separados, vários strikes ou contratos podem reutilizar boa parte do mesmo trabalho de transformação
A convergência rápida é condicional
Densidades suaves com coeficientes de cosseno que decaem rapidamente podem produzir convergência muito rápida, muitas vezes exponencial, à medida que o número de termos N aumenta
Vencimentos curtos, densidades pontiagudas, átomos, caudas pesadas ou payoffs descontínuos podem desacelerar a convergência e produzir oscilações perto de pontos não suaves
Portanto, a reputação de velocidade do método é um resultado dependente da regularidade, não uma garantia fixa de precisão para todo modelo e payoff
A escolha do intervalo faz parte do orçamento de erro
Uma heurística comum usa cumulantes, como c₁±L√(c₂+√c₄), quando esses cumulantes existem e a convenção é aplicável
A escala L não é universal, e cumulantes superiores não confiáveis ou inexistentes podem tornar enganosa uma regra familiar de intervalo
Limites de probabilidade de cauda, intervalos de referência mais amplos e estabilidade entre escolhas de [a,b] fornecem evidência mais forte do que uma única configuração heurística
A verificação separa erro de faixa e erro da série
Aumente [a,b] mantendo N suficientemente grande para diagnosticar a truncagem do domínio; depois aumente N em um intervalo estável para testar a convergência da série
Verifique a função característica em zero, a convenção de peso pela metade, o desconto, os coeficientes de payoff, a paridade, os limites, a monotonicidade e a convexidade
Compare preços selecionados com quadratura direta de Fourier ou outro método independente antes de usar COS dentro de ciclos de calibração
Perguntas frequentes
O que é o método COS?
É um método de precificação de opções que aproxima uma densidade terminal com uma série de cossenos de Fourier cujos coeficientes vêm da função característica
COS é igual à precificação por FFT?
Não. Ambos usam transformadas, mas COS avalia uma expansão de cossenos em um intervalo de estados escolhido, em vez de exigir a mesma grade de strikes vinculada à FFT
Como o intervalo [a,b] é escolhido?
Heurísticas de cumulantes são comuns, mas o intervalo deve ser validado com informações de cauda e estabilidade dos preços, porque nenhuma largura única é universal
Por que a precificação por COS pode ser imprecisa?
Um intervalo estreito, poucos termos, regularidade fraca da densidade, descontinuidades do payoff, erros nos coeficientes ou entradas inválidas da transformada podem causar erro