CAViaR explicado: Value at Risk condicional autorregressivo

Defina \(L_t=-r_t\) como a perda da carteira: uma perda é positiva e um ganho, negativo. Para o nível de confiança \(\alpha\), o VaR de um período é o quantil condicional superior \[ v_t^\alpha=Q_\alpha(L_t\mid\mathcal F_{t-1}), \] em que \(\mathcal F_{t-1}\) contém as informações disponíveis antes de observar a perda do período \(t\). Com \(\alpha=0.99\), o objetivo é um limite que cerca de \(1-\alpha=1\%\) das perdas futuras deve ultrapassar se o quantil condicional estiver corretamente especificado. A perda realizada pode ultrapassar o VaR por qualquer valor; VaR não é um limite máximo de perda.

CAViaR significa Conditional Autoregressive Value at Risk e especifica por recursão como esse quantil muda ao longo do tempo. Em vez de estimar a distribuição condicional inteira e depois extrair um ponto da cauda, o modelo estima esse ponto diretamente. Engle e Manganelli introduziram essa classe e estimaram seus parâmetros por regressão quantílica (artigo de 2004). O nível de quantil escolhido importa: modelos de 95% e 99% podem ter dinâmicas diferentes, e nenhum deles descreve toda a cauda.

Uma forma geral de um período é \[ v_t^\alpha=f(v_{t-1}^\alpha,L_{t-1},X_{t-1};\beta), \] em que \(X_{t-1}\) contém outros preditores permitidos e \(\beta\) é um vetor de parâmetros a estimar. O quantil defasado dá memória à previsão; as perdas ou os preditores defasados permitem que novas informações movam o limite. A ideia lembra uma recursão de volatilidade, pois as condições passadas importam, mas o estado atualizado é um quantil, não uma variância condicional.

Por exemplo, uma especificação simétrica de valor absoluto (SAV) é \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2|L_{t-1}|. \] Ela reage à magnitude do movimento anterior, mas trata ganhos e perdas simetricamente por meio do valor absoluto. O termo autorregressivo mantém a previsão após um choque e, depois, faz com que ela diminua conforme as entradas posteriores mudam. A persistência precisa ser estimada e avaliada; uma trajetória suave, por si só, não mostra que o quantil está calibrado.

O CAViaR inclui outras opções, como uma atualização adaptativa que depende de a observação anterior ter ultrapassado o limite precedente, e uma forma GARCH indireta com uma recursão semelhante à da variância. São especificações alternativas, não nomes intercambiáveis. A forma funcional determina quais informações históricas podem mover o quantil e que tipo de resposta o modelo ajustado pode expressar.

Para permitir que observações de alta e de baixa afetem de maneira diferente o próximo quantil de perda, defina as magnitudes positivas \(L^+=\max(L,0)\) e \(L^-=\max(-L,0)\). Uma forma de inclinações assimétricas é \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2L_{t-1}^{+}+\beta_3L_{t-1}^{-}. \] Uma perda positiva da carteira entra por \(L^+\); um ganho entra por \(L^-\). As duas inclinações estimadas não precisam ser iguais. Se o modelo for escrito para retornos e um quantil inferior dos retornos, em vez de perdas positivas, a convenção de sinais muda. Por isso, um artigo ou implementação deve declarar com precisão a variável dependente e o significado das partes positiva e negativa.

Essa flexibilidade não prova que os mercados tenham um efeito de alavancagem assimétrico. Ela permite que o quantil condicional escolhido reaja de forma diferente a cada componente, dadas a recursão e a amostra selecionadas. Os coeficientes são estimados, não constantes conhecidas, e seus sinais e magnitudes dependem das unidades e da parametrização. Compare essa forma com uma especificação simétrica de referência e avalie ambas fora da amostra de estimação.

<!-- Illustration placement: after section 3; text-free conceptual view of a conditional loss-quantile ribbon moving over time, responding more after a large loss than after an upside move, with a few conceptual threshold crossings. No axes, labels, values, or market data. -->

Para parâmetros candidatos \(\beta\), primeiro gere toda a trajetória recursiva \(v_t^\alpha(\beta)\). Em seguida, minimize a perda quantílica, ou perda check: \[ \widehat\beta=\arg\min_\beta\sum_{t=1}^{T}\rho_\alpha\!\left(L_t-v_t^\alpha(\beta)\right), \qquad \rho_\alpha(u)=u\left(\alpha-\mathbf 1\{u<0\}\right). \] Para um quantil superior de perdas, uma subprevisão com \(u>0\) recebe peso \(\alpha\), enquanto uma sobreprevisão com \(u<0\) recebe peso \(1-\alpha\). Com \(\alpha=0.99\), a função de perda penaliza uma perda grande não prevista mais do que uma margem excedente de igual magnitude. Não é uma perda de erro quadrático e não escolhe coeficientes para ajustar a média condicional.

Essa é a ideia de regressão quantílica desenvolvida por Koenker e Bassett (artigo de 1978), aplicada a uma trajetória de quantis gerada recursivamente. A regressão quantílica linear tem uma estrutura convexa útil, mas as formas recursivas não lineares do CAViaR podem tornar a otimização sensível aos valores iniciais e a mínimos locais. Um ajuste prático deve registrar a função objetivo, as restrições dos parâmetros, o procedimento de otimização, as verificações de convergência e os resultados com diferentes valores iniciais. Resultados comuns de mínimos quadrados não substituem a inferência de regressão quantílica.

O primeiro valor recursivo \(v_0^\alpha\) precisa ser fornecido ou estimado. Uma opção transparente é o quantil empírico superior das perdas em uma janela pré-amostral que termine antes do período de avaliação. Outras implementações estimam o valor inicial em conjunto ou usam um período de aquecimento documentado. Aplique a regra escolhida de forma consistente às especificações candidatas e informe quantas observações inicializam a recursão. Se o coeficiente defasado for persistente, a inicialização pode influenciar muitas previsões posteriores.

Os ajustes recursivos de quantis podem ser não lineares em seus parâmetros mesmo quando a equação parece simples. Diferentes vetores iniciais podem convergir para soluções locais distintas; convergência significa apenas que a regra numérica de parada foi atendida. Quando apropriado, use vários valores iniciais razoáveis e examine as trajetórias resultantes. Diferencie uma restrição numérica — como exigir um limite de perda não negativo — de um fato econômico. Não há um único limite de coeficiente que garanta estabilidade para toda especificação CAViaR. As condições dependem da forma, da identificação e do comportamento do processo de entrada; os resultados assintóticos do artigo original também se baseiam em hipóteses explícitas e excluem casos explosivos.

A incerteza também importa. Observações de cauda são escassas, sobretudo no nível de 99%, e a densidade condicional perto do quantil-alvo afeta a precisão do estimador. Erros-padrão para quantis recursivos não lineares exigem métodos justificados para esse contexto, como estimadores assintóticos adequados ou um bootstrap cuidadosamente planejado. Uma linha ajustada que parece precisa não prova que o risco de cauda seja conhecido com precisão.

Na origem \(t-1\), estime os parâmetros e gere \(v_t^\alpha\) usando apenas retornos e covariáveis disponíveis até aquele instante. Compare a previsão com \(L_t\) depois que o período terminar. Se o modelo for reestimado em uma janela móvel ou expansiva, cada janela deve terminar na origem de previsão declarada. Usar \(L_t\) para formar \(v_t^\alpha\), ou dados revisados que não estavam disponíveis naquele momento, introduz informação futura na previsão.

Alinhe o objetivo à carteira e ao horizonte reais. Um VaR diário para uma carteira de pesos fixos não é automaticamente o VaR de uma conta cujas posições mudam durante o dia; um quantil de um dia também não é uma previsão de risco para vários dias. Informe a construção dos retornos, a moeda, o horizonte, o fechamento do mercado, o rebalanceamento da carteira e o momento em que cada preditor ficou disponível. Transformações, eventos corporativos, preços desatualizados e sessões ausentes podem alterar o conjunto de informações e a dinâmica do quantil.

A recursão usual é naturalmente de um passo porque \(v_t\) usa \(L_{t-1}\), que já foi observado. Para uma previsão de vários passos, as perdas futuras ainda são desconhecidas. Iterar a equação inserindo perdas futuras realizadas seria antecipação de informação. Um VaR para vários períodos exige um procedimento explícito para a trajetória futura desconhecida — como simulação ou um modelo separado para múltiplos horizontes — e suas hipóteses devem ser avaliadas à parte.

Suponha que um VaR diário hipotético de perdas a 99% siga a recursão de inclinações assimétricas acima. As perdas e \(v\) são medidas em pontos percentuais; os parâmetros ilustrativos, não estimados, são \(\beta_0=0.10\), \(\beta_1=0.80\), \(\beta_2=0.35\) e \(\beta_3=0.10\). Se a previsão anterior era \(2.00\%\) e a perda de ontem foi \(3.00\%\), então \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(3.00)+0.10(0)=2.75\%. \] Neste exemplo, a perda maior eleva o limite de hoje. Se a carteira tivesse obtido um ganho de \(3.00\%\) ontem, então \(L_{t-1}=-3.00\%\) e o outro componente seria \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(0)+0.10(3.00)=2.00\%. \] Esses coeficientes servem apenas para ilustrar a recursão; outra amostra ou parametrização pode produzir uma resposta diferente.

Se a perda realizada de hoje for \(3.20\%\), ela ultrapassa a previsão de \(2.75\%\), então o indicador de exceção vale um. Uma única exceção não demonstra que o modelo seja ruim, assim como um dia sem exceções não o valida. Com calibração condicional correta, a média condicional do indicador de exceção, dadas as informações disponíveis na origem da previsão, deve ser \(1-\alpha\). Em uma amostra longa, a frequência média deve ficar próxima dessa taxa, considerando a variação amostral.

VaR é a medida de risco: um quantil condicional de perda para uma probabilidade especificada. CAViaR é um método para prever essa medida. Expected Shortfall responde a outra pergunta: a perda média na cauda selecionada além do VaR, segundo a definição relevante. A trajetória de quantis do CAViaR, por si só, não determina essa média nem o formato das perdas além do limite. O guia sobre [VaR e Expected Shortfall](/pt-BR/learn/value-at-risk-vs-expected-shortfall-explained) compara as medidas.

GARCH modela recursivamente a variância ou volatilidade condicional; depois, é necessária uma hipótese distributiva para as inovações padronizadas para transformar a variância em um quantil VaR. ARCH e GARCH estão associados ao modelo ARCH de Engle e à extensão GARCH de Bollerslev90063-1). O CAViaR modela o quantil diretamente sem exigir uma densidade condicional completa, embora ainda dependa das hipóteses de sua dinâmica escolhida. A especificação CAViaR GARCH indireta é uma ponte especial entre as abordagens, não uma prova de que todos os modelos CAViaR sejam GARCH. Consulte também o guia sobre [agrupamento de volatilidade GARCH](/pt-BR/learn/volatility-clustering-garch-explained).

Uma perda quantílica baixa na amostra não certifica o risco fora da amostra. Reserve um período cronológico de avaliação, produza cada previsão usando apenas informações passadas e informe tanto a taxa de exceções quanto se elas se agrupam ou podem ser previstas com base em informações anteriores. Um teste de frequência incondicional, como o de Kupiec (1995), e um teste de cobertura condicional, como o de Christoffersen (1998), respondem a perguntas diferentes. O teste de quantil dinâmico de Engle e Manganelli examina restrições selecionadas sobre exceções centralizadas e instrumentos escolhidos. Nenhum deles testa toda forma possível de especificação incorreta. O guia de [backtesting de VaR](/pt-BR/learn/value-at-risk-backtesting-kupiec-christoffersen-explained) apresenta os testes de sequência de exceções. Para comparar duas previsões quantílicas, calcule a mesma perda check nas mesmas datas e compare a diferença dependente com um [teste de Diebold–Mariano](/pt-BR/learn/diebold-mariano-test-forecast-accuracy-explained); esse teste avalia a perda relativa de previsão, não a calibração do VaR nem o lucro de negociação.

Os resultados podem mudar com a probabilidade de cauda, a recursão, a inicialização, a janela de estimação, a carteira e as datas de avaliação. Um modelo que se ajusta a um quantil pode não se ajustar bem a outro, e quantis estimados separadamente podem se cruzar. Quebras estruturais, extremos agrupados, poucos dados de cauda, posições variáveis, lacunas de mercado, liquidez e custos de execução não são resolvidos por uma equação recursiva de VaR. O VaR também não informa a gravidade das perdas depois de uma exceção. Trate o resultado como um limite de risco baseado em modelo que deve ser monitorado, não como limite de perda, previsão de lucro ou regra de negociação independente.