Engle–Ng-toetsen voor teken- en omvangbias in volatiliteitsmodellen

Een model kan clustering in de omvang van rendementen vastleggen en toch missen dat verschillende schokken de toekomstige variantie anders beïnvloeden. Een symmetrisch GARCH-model geeft positieve en negatieve innovaties van gelijke grootte hetzelfde varianteffect. Blijven er daarna verschillende patronen in de gestandaardiseerde residuen over, dan kan die beperking voor de steekproef te sterk zijn.

Engle en Ng behandelen dit als een diagnose na het schatten: verklaren het teken of de omvang van de vorige innovatie het huidige gekwadrateerde genormaliseerde residu? Het oorspronkelijke artikel definieert de nieuwsimpactcurve en vergelijkt modellen met dagelijkse Japanse aandelenrendementen. Die empirische rangorde geldt voor die steekproef, niet voor alle markten (Engle en Ng, 1993).

“Bias” betekent hier een overgebleven patroon naar teken of omvang dat het variantie-model niet verklaart, niet statistische vertekening van de parameterschatting. Bepaal eerst een GARCH-model, en beoordeel daarna of de schokreactie past bij doel en steekproef.

Schrijf het rendement als volgt:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

Hier is \(\mu_t\) het conditionele gemiddelde en \(\epsilon_t\) de innovatie na schatting van het gemiddeldenmodel. \(h_t\) is de geschatte conditionele variantie; het gestandaardiseerde residu vergelijkt de innovatie met de variantieschaal die het model voorspelt.

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

Bij een passende variantspecificatie hoort \(\hat z_t^2\) niet systematisch groter of kleiner te zijn na bepaalde eerdere schokken dan het model al verklaart. Standaardiseren verwijdert de voorspelde variantieschaal; gekwadrateerde ruwe residuen kunnen gewone volatiliteitsclustering behouden. Leg gemiddeldevergelijking, residu, variantie, steekproef en eenheden vast voordat je een p-waarde interpreteert.

Definieer de indicator voor een negatieve vorige innovatie en het complement:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

De tekenbiasregressor is \(S^-\), de negatieve-omvangregressor \(S^-\hat\epsilon\), en de positieve-omvangregressor \(S^+\hat\epsilon\). Ze beantwoorden verschillende vragen: telt alleen het teken, en voegt de omvang binnen elke tak informatie toe? Leg vast hoe een innovatie van nul wordt ingedeeld en welke eenheden gelden; omvangcoëfficiënten hangen daarvan af.

De nieuwsimpactcurve vat samen hoe een nieuwe innovatie bij gelijkblijvende andere toestandsvariabelen doorwerkt in de volgende conditionele variantie. De curve van symmetrisch GARCH is symmetrisch rond nul; asymmetrische specificaties versoepelen die beperking. Dit is een modeleigenschap, geen rechtstreeks gemeten causale marktreactie.

\(\mathbf z_{ot}^*\) is de vector van genormaliseerde afgeleiden van de gehandhaafde conditionele variantie naar de nuisanceparameters, geëvalueerd onder de nulhypothese. Het zijn score-/afgeleidentermen en niet noodzakelijk de ruwe variantie-regressoren. Elke hulprelatie voegt één teken- of omvangterm toe en behoudt die overige termen.

De tekentoets vraagt of het teken van de vorige innovatie het huidige gekwadrateerde gestandaardiseerde residu helpt voorspellen, met behoud van de overige termen van het nulmodel voor variantie. De hulprelatie is:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

De individuele nulhypothese is \(b_s=0\). De indicator is de toegevoegde term die wordt getoetst. Een significante coëfficiënt wijst, gegeven het geschatte model, op verschillende residuele-variantiepatronen na negatieve en niet-negatieve schokken.

Dit betekent niet dat negatieve rendementen altijd de volatiliteit verhogen. De toets identificeert geen causaal mechanisme en ook niet elke mogelijke niet-lineaire reactie. Verwerping is aanleiding om model en gegevens te onderzoeken.

Deze toets richt zich op de negatieve tak en vraagt of de innovatieomvang een overgebleven patroon verklaart:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

De individuele nul is \(b_-=0\). Omdat de innovatie negatief is wanneer de indicator één is, hangt de interpretatie van het teken af van de tekenconventie en eenheden. De toets onderzoekt of de schokomvang extra informatie toevoegt; zij bewijst geen causaliteit van slecht nieuws of betere voorspellingen.

Hulpregrressoren kunnen correleren, waardoor bijdragen lastig afzonderlijk te identificeren zijn. Lees de individuele toetsen samen met de volledige regressie en de gezamenlijke toets.

Verwant onderzoek vergelijkt asymmetrische variantspecificaties zoals GJR, maar de empirische uitkomsten zijn gebonden aan de gegevens en aannames van elke studie (Glosten, Jagannathan en Runkle, 1993).

<!-- learn:illustration -->

De overeenkomstige toets onderzoekt de tak met positieve innovaties:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

De nulhypothese is \(b_+=0\). Deze toets kan significant zijn terwijl de tekentoets dat niet is: de reactie kan binnen één tak met de omvang veranderen zonder eenvoudig gemiddeld verschil tussen tekens.

“Positieve-omvangbias” betekent niet dat positieve rendementen noodzakelijk de volatiliteit verhogen of verlagen. Nelsons EGARCH en Zakoïans drempelmodel staan asymmetrische variantiedynamiek toe; het zijn alternatieven om te beoordelen, geen automatische oplossing of altijd beter model.

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

De drie regressoren kunnen samen in één hulprelatie worden getoetst:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

De gezamenlijke nulhypothese is \(b_1=b_2=b_3=0\). Met behoud van de overige nulmodeltermen en onder gebruikelijke grote-steekproefvoorwaarden wordt de gezamenlijke LM-toets asymptotisch vergeleken met een chi-kwadraatverdeling met 3 vrijheidsgraden. Een gebruikelijke vorm is \(LM=M R^2\), met \(M\) het aantal gebruikte rijen en \(R^2\) uit de opgegeven regressie. Volg de exacte vergelijking en regels voor eindige steekproeven van de gekozen implementatie.

Engle en Ng merken op dat weglaten van \(\mathbf z_{ot}^*\) uit de gezamenlijke regressie de toets conservatief maakt: de omvang is hoogstens het nominale niveau, maar de power kan dalen.

Puur hypothetisch: bij \(M=400\) en \(R^2=0.012\) is \(LM=4.8\). De kritieke waarde op 5% voor chi-kwadraat met 3 vrijheidsgraden is ongeveer 7.81; hier wordt dus niet verworpen. Dit zijn illustratieve waarden, geen empirische uitkomst of bewijs van symmetrie.

Een kleine p-waarde is reden om een specifiek restpatroon te onderzoeken, maar kiest geen alternatief model en bewijst geen causaal leverage-mechanisme of economische voorspelwaarde. Een grote p-waarde betekent alleen dat de toets het gekozen patroon in deze steekproef niet aantrof.

Hulpregrressoren kunnen correleren, vooral de tekenindicator en de negatieve-omvangterm, waardoor de power van individuele toetsen afneemt. Ook steekproefgrootte, schatting en de gehandhaafde specificatie tellen mee. Veel activa, modellen, vertragingen en vensters toetsen vergroot de kans op toevallig kleine p-waarden.

Uitschieters, sprongen, structurele breuken, weggelaten gemiddelde-dynamiek of inconsistente innovatie-eenheden kunnen uitkomsten veranderen. Documenteer rendementsdefinitie, schattingsvenster, tekenconventie en inferentie; benoem beperkingen van asymptotische benaderingen en overweeg passende resampling.

ARCH LM vraagt of vertraagde gekwadrateerde residuen het huidige gekwadrateerde residu verklaren; zie de ARCH-LM-gids. Engle–Ng toetst specifieke teken- en takomvangtermen. Ljung–Box onderzoekt residu-autocorrelatie, een andere vraag.

Na verwerping kun je een asymmetrisch model zoals GJR-GARCH, EGARCH of een drempelmodel schatten, residuen opnieuw controleren en voorspellingen apart beoordelen. QLIKE en kwadratische fout scoren voorspellingen nadat ze zijn gemaakt; ze vervangen geen residudiagnose.

Als je volatiliteitsvoorspellingen in een handelsregel gebruikt, toets die buiten de steekproef met kosten, spread, marktimpact, financiering en risicolimieten. De teken- en omvangbiastoets is geen koop- of verkoopsignaal.