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確率積分の分散11分で読めます
確率積分におけるItô等長性を理解する
Itô等長性がブラウン運動の確率積分の分散を時間積分へ変える仕組みと、ヘッジ誤差やシミュレーションでの意味を解説します
要点
Itô等長性は、二乗可積分なブラウン運動の確率積分の二乗期待値が、被積分過程の二乗を時間積分した期待値に等しいことを示します。ランダムな経路リスクを通常の分散計算へ変えますが、予測可能性と可積分性を先に確認する必要があります
二乗された不確実性を測る恒等式です
予測可能な過程Hについて、中心的な関係はE[(∫₀ᵀ H_t dW_t)²] = E[∫₀ᵀ H_t² dt]です
条件が満たされれば確率積分の条件付き平均は0なので、両辺は同じ分散も表します
これは微分記号の掛け算規則ではなく、単純過程の極限として定義されるL²の恒等式です
階段型の露出で直感を得ます
Hが時点0から0.25まで2で、その後0なら、積分は2(W_0.25 - W_0)になります
分散は4 × 0.25 = 1で、H²の時間積分と一致します
重ならない区間では独立なブラウン増分の交差項の期待値が消えます。許容されるHではこの計算が極限へ引き継がれます
ヘッジ誤差は露出の経路で決まります
シミュレーションも同じ分散予算を使います
モンテカルロの増分は通常H_t√Δt Zで、Zの平均は0、分散は1です
条件付き分散はH_t²Δtであり、その和が等長性の離散版に対応します
時間格子を変更するときは、パス数だけでなくH²の積分予算と標本誤差を比較します
ジャンプと取引摩擦は別に扱います
複数のブラウン因子があれば、分散には共分散行列と交差露出項が入ります
ジャンプ、離散リバランス、取引費用、古い気配値、パラメータ誤差はこの恒等式で消えません
等長性は二乗可積分な拡散部分を検査するだけで、利益を予測したり取引規則の安全性を保証したりしません
よくある質問
Itô等長性を簡単に言うと何ですか？
多くの小さなブラウンショックが生む分散を、時点ごとの露出の大きさを二乗して足す形で計算できるという結果です
Itô等長性はヘッジリスクをゼロにしますか？
いいえ。定めたモデルのブラウン部分だけを説明します。ジャンプ、離散ヘッジ、費用、誤った入力は損失を生み得ます
なぜ予測可能性が必要ですか？
被積分過程は次のブラウンショックの前に利用可能な情報で決めなければなりません。未来の雑音を使うと許容可能な露出を表さなくなります