オプション価格理論で学ぶ伊藤の補題

滑らかな決定論的経路 x(t) なら、f(t, x) の微小変化は時間微分と x に関する一階微分で表せます

拡散過程の経路は連続でも、通常の意味では滑らかに微分できません。短時間のランダムな増分は時間の平方根に比例します

そのためテイラー展開の二次項が時間の一次項と同じ大きさになります。これを捨てると、価格理論でガンマとして現れる効果が消えます

ブラウン運動の増分を dW と書くと、伊藤計算では dW² が dt に寄与し、dt² と dt・dW は対象の次数では消えます

これは分割を細かくしたとき、ブラウン運動の増分の二乗和が経過時間に収束するという極限を要約した記法です

個々のランダムな変化の二乗が常に時間と等しいという通常の代数ではありません。確率積分の極限規則です

dS = μSdt + σSdW とし、オプション価値を V(t, S) とします。伊藤の補題は V の局所的な確率変化を与えます

ドリフト項は Vₜ + μS Vₛ + 1/2 σ²S²Vₛₛ、ランダム項は σS VₛdW です。添字は偏微分を表します

デルタ Vₛ は一階の価格ショックに掛かり、ガンマ Vₛₛ は二次変分を通じて時間と同じ次数のドリフトに入ります

価格ショックの条件付き平均がゼロでも、凸性があれば上昇と下落はオプション価値に非対称な影響を与えます

1/2 σ²S²Gamma はその局所的な曲率効果です。ボラティリティが高いほど、曲がった価値関数への寄与率は大きくなります

ロングガンマなら必ず利益になるという意味ではありません。セータ、支払ったプレミアム、ジャンプ、スキュー、取引費用が損益を左右します

オプション一単位と、そのデルタ分を売った原資産を組み合わせると、拡散モデル内では dW 項が瞬間的に相殺されます

残った局所ポートフォリオは無リスクとみなされ、配当やキャリーを整合的に扱えば無裁定条件から無リスク金利を得る必要があります

この条件を代入すると μ が消え、Black–Scholes偏微分方程式が得られます。収益予想ではなく複製が価格関係を決めます

相関する複数の拡散過程では、共分散で加重された交差二階微分も展開に加わります。相関と複合的な曲率を結ぶ項です

状態過程を変えれば生成作用素と価格方程式も変わります。局所ボラティリティ、確率ボラティリティ、金利モデルにも応用されます

関数が十分に滑らかでない場合、境界やキンクは安易に微分せず、弱解、一般化された公式、数値法で扱う必要があります

ジャンプ過程は連続ブラウン運動の公式だけでは表せません。不連続な変化項を含む拡張公式が必要です

実際のヘッジは離散的で費用も掛かります。無限小の dW 項を消しても、ギャップ、流動性、パラメータ、執行リスクは残ります

伊藤の補題はモデルの仕組みを理解する道具です。価格やグリークを解釈する前に、過程、滑らかさ、測度、取引仮定を確認します