有限差分法によるオプション価格計算を解説

拡散モデルと無裁定の議論から、原資産価格と時間にわたるオプション価値の偏微分方程式が得られます

終端条件は満期のペイオフです。境界条件は、格子が表す最小と最大の原資産価格付近で価値がどう振る舞うかを定めます

有用な閉形式がない場合や、権利行使とペイオフの特徴が複雑な場合に有限差分法で数値的に解きます

価格ノード S₀ から S_M と、今日から満期までの時間層を選びます。有限の格子が連続領域を切り取り、離散化します

価格に関する一階・二階微分は隣接するオプション価値から、時間微分は隣り合う時間層から近似します

偏微分方程式は連立する代数方程式に変わります。時間を一層ずつ遡ると、最終的に今日のスポット付近の価値が得られます

陽解法は、後の時間層にある隣接ノードから前の価値を直接計算します。一ステップは明快で高速です

ただし時間幅は価格間隔と係数に応じた安定条件を満たす必要があります。粗い格子では値が振動したり発散したりします

陰解法は各時間層で線形方程式系を解きます。一ステップの負担は増えますが、大きな時間幅でも一般に安定しています

Crank–Nicolson法は陽的演算子と陰的演算子を平均し、滑らかな解なら標準条件下で時間方向に二次精度を得ます

オプションのペイオフにはキンクがあり、離散イベントも新たな非滑らかな点を生みます。形式上安定でも初期に振動し得ます

Rannacher初期ステップ、減衰、適合格子、短い時間幅で抑えられますが、効果は実際の収束試験で確認します

モデル上の原資産に上限がなくても、計算格子の上限は有限です。コールとプットの漸近挙動から境界値を設定します

境界がスポットに近すぎると人工的な条件が内部まで汚染します。領域を広げても価格とグリークがほぼ変わらないことを確かめます

現金配当、バリア、リベート、観測日は正確な時点でジャンプ条件や接続条件を適用します。時点のずれは不要な偏りを生みます

行使可能な各点でアメリカンオプションの価値は即時行使価値以上であり、同時に継続領域の方程式を満たす必要があります

これは相補性条件を作ります。射影法、ペナルティ法、または直接的な行使比較で制約を課せます

推定行使境界は格子の解像度と契約入力に依存します。滑らかな出力だけでは停止方針の正確さを証明できません

時間幅と価格間隔を別々に細分化し、外側境界を動かし、陽解法、陰解法、別の数値法と比較します

微分は格子ノイズを増幅するため、価格だけでなくグリークも追跡します。スポット、権利行使価格、バリア付近へノードを集める方法も有効です

十分細かく整列した格子になるまで理論上の収束次数が現れない場合があります。理論値だけでなく観測された収束を報告します

単純なヨーロピアン型をBlack–Scholes式と比較し、アメリカン型は二項ツリーや独立ソルバーと照合します

ペイオフ極限、パリティ、単調性、凸性、早期行使境界、境界位置とイベント時点への感度を試験します

解法、格子、領域、許容誤差、減衰、補間法を記録します。数値設定も見えない実装詳細ではなく評価仮定です