確率指数とDoléans–Dade指数を理解する

ゼロから始まるセミマルチンゲールXに対し、Z = 𝓔(X)はZ_t = 1 + ∫_0^t Z_{s-}dX_sの一意な解です

ジャンプΔX_sはその瞬間の価値を1 + ΔX_s倍にするため、左極限Z_{s-}が必要です

この定義は閉形式の暗記より本質的で、連続過程とジャンプ過程の両方に使えます

連続セミマルチンゲールでは、関連する有限変動項をXに含めると𝓔(X)_t = exp(X_t-X_0-1/2[X]^c_t)です

Xが連続局所マルチンゲールMなら、よく使う形はexp(M_t - 1/2⟨M⟩_t)です

この減算がItôの二次項を相殺し、余計なドリフトなしでd𝓔(M)_t = 𝓔(M)_t dM_tを成立させます

一般のXでは連続指数に∏_{s≤t}(1 + ΔX_s)e^{-ΔX_s}を掛けます

各因子は加法的な指数反応e^{ΔX}を、必要な価値倍率1 + ΔXへ置き換えます

無限積にはセミマルチンゲールの正則性が要り、高頻度リターンを収束確認なしに掛けてよいという意味ではありません

すべてのΔXが-1より大きければ、正から始まる確率指数は厳密に正のままです

ちょうど-1のジャンプはゼロへ落とし、-1未満なら符号まで変えて正の密度や資産価値に使えなくなります

これは有限責任の価格モデルで一回の比例損失が100%を超えられないという金融的意味を持ちます

適切なジャンプを持つ局所マルチンゲールMの𝓔(M)は通常局所的で、非負ならスーパーマルチンゲールです

一定期間の確率測度を定義するには、E[𝓔(M)_T] = 1を満たす真のマルチンゲールでなければなりません

Novikov、Kazamaki、有界性やジャンプ向け条件は十分条件になり得ますが、指数形だけでは保証されません

Girsanov理論では有効な確率指数が経路の重みとドリフトを変えるRadon–Nikodym密度になります

dS_t/S_{t-} = dX_tの解はS_t = S_0𝓔(X)_tであり、複利構造が動学に組み込まれています

代数が同じでも密度と価格には異なる正規化、可積分性、許容性の確認が必要です

ジャンプ下限、終端期待値、一様可積分性、離散化、局所か真のマルチンゲールかを確認します

単純Euler更新は負値や積構造の歪みを生み得るため、厳密な指数構造を保つ手法が安全な場合があります

シミュレーションは期待値損失を生む稀な経路を逃すので、切断、解析条件、境界検査と標本平均を併用します