ニュメレールと測度変更を解説

ドル価格は通貨を目に見える単位にしますが、モデルではマネーマーケット口座を動的ニュメレールにすることがよくあります

Nₜをニュメレールとすれば、資産 X の相対価格は Xₜ/Nₜ で、Xを買うのに必要な N の量です

単位変更は価値を生みません。同じ経済的支払いを再構成し、便利な条件付き期待値を選びます

対象期間中に取引可能で厳密に正でなければ、除算と測度密度を正しく定義できません

ゼロに達する資産は、局所化や狭い状態空間なしには大域的ニュメレールに向きません

総収益価値には資金調達、担保、配当、再投資を一貫して含める必要があります

マネーマーケット B と測度 Qᴮ から始めると、別の N は N/B に基づく密度で Qᴺ を定義します

Qᴺでは適格な取引価格を N で割った値がマルチンゲールとなり、Qᴮでは B で割った値がそうなります

生の資産価格が測度に関係なくマルチンゲールという主張はなく、ニュメレールと測度は一組です

時点 T の支払い H は、Nₜに Qᴺ の下で H/N_T の条件付き期待値を掛けて評価できます

別のニュメレールでは支払い単位と確率ウェイトが共に変わるため、整合的なら通貨価値は同じです

これは価格変換であり、一つの測度の事象確率が現実により起こりやすいという予測ではありません

T満期債 P(t,T) をニュメレールにすると、Tフォワード測度の下で適格なT受渡しフォワード価格がマルチンゲールになります

T支払いの確率的割引を除き、キャップ、スワップション、債券オプションなどを簡単にできます

満期と支払日を合わせる必要があり、複数キャッシュフローは分解します。一つの測度が全日付を簡単にはしません

支払いの正の因子に似たニュメレールを選ぶと、除算後に単純な指標や交換オプションへ変わる場合があります

モンテカルロでは変換支払いの分散低下や別の割引因子の省略が可能ですが、改善は自動ではありません

数値上の便利さはモデル不整合を直しません。変換後もドリフト、共分散、密度動学が正確である必要があります

株式ニュメレールは配当落ち価格だけでなく再投資配当を含む取引可能トータルリターンでなければなりません

外国為替では国内外のマネーマーケット口座が国内・外国のリスク中立測度を自然に作ります

クオントやクロス通貨請求権は為替、資産、金利、ニュメレール間の相関が作るドリフト調整を示します

基準商品を二つのニュメレールで評価し、単位を戻して解析・数値誤差内で一致するか確かめます

密度正規化、相対資産のマルチンゲール、支払日、総収益規約、シミュレーションドリフトを検査します

ニュメレール、対応測度、Radon–Nikodym導関数、決済通貨、全キャッシュフロー日を記録します