Novikov条件とKazamaki条件を理解する

連続局所マルチンゲールMの確率指数はZ_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)です

Zは正の局所マルチンゲールなので優マルチンゲールであり、E[Z_t]は初期値1を下回り得ます

質量を失うと、Z_Tは意図した確率密度として使えません

有限期間の密度にはZ_T ≥ 0とE[Z_T] = 1が必要で、密度過程は条件付き期待値でつながります

一様可積分性は期間全体の変数族を制御し、停止時刻で整合的な測度変更を支えます

指数式を書くだけでは、正規化が1で同値測度を定義する証明にはなりません

固定有限期間Tでよく使う条件はE[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞です

M = ∫θ_s dW_sなら括弧過程は∫₀ᵀθ_s²dsで、累積ドリフト変更の二乗に指数可積分性を求めます

二次変分だけを調べるため便利ですが、実際のマルチンゲール性に必要な条件より強い場合があります

Kazamaki型条件はexp(M/2)を制御し、停止時刻にわたる劣マルチンゲール性や一様可積分性で表されます

Novikovの指数二次変分積率が無限でも、真のマルチンゲール性を示せる場合があります

期間と定理の版で正確な記述が変わるため、使った判定と符号規約を明示します

両条件は十分な判定であり、定義でも一般的な必要条件でもありません

Novikovが失敗してもKazamaki、BMO、直接期待値計算、モデル固有の議論が成功し得ます

便利な判定がすべて失敗したなら真の性質を仮定できず、厳密局所マルチンゲールの可能性が残ります

Girsanovのドリフト変更やリスク中立密度は、市場リスク価格から作る確率指数をよく使います

密度が真でなく厳密局所マルチンゲールなら、提案した価格測度は欠陥を持つか期間で不整合になります

同じ問題は尤度比推定、フィルタリング、効用双対、バブル状のモデルにも現れます

すべての有限Tで成り立つ条件も、無限期間の一様可積分性を保証するとは限りません

局所化は局所恒等式を示しますが、極限で失われた期待質量を自動的には戻しません

ジャンプ指数には専用の正値性と可積分性が必要で、連続型Novikov式をそのまま使えません