Grandi deviazioni e volatility smile delle opzioni: spiegazione
Scopri come le funzioni di costo descrivono movimenti esponenzialmente rari, come entrano nelle asintotiche dei prezzi delle opzioni e della volatilità implicita e dove l'approssimazione si interrompe
Risposta diretta
Un principio delle grandi deviazioni descrive come le probabilità di esiti rari decadano su una scala esponenziale. Nella teoria delle opzioni, la sua funzione di costo può determinare il comportamento principale dei prezzi di coda e della volatilità implicita in un regime dichiarato di piccolo tempo, piccolo rumore o lungo tempo
Le grandi deviazioni studiano una scala diversa
Il teorema del limite centrale descrive le fluttuazioni tipiche vicino a una media, comunemente su una scala di radice quadrata
La teoria delle grandi deviazioni chiede invece come la probabilità di un insieme lontano si riduca quando un parametro di scala diventa estremo
È utile quando il payoff di un'opzione è concentrato su esiti troppo rari perché un'approssimazione gaussiana locale li descriva bene
Una funzione di costo prezza geometricamente la rarità
Per variabili X_ε con velocità a_ε tendente all'infinito, la forma abbreviata P(X_ε∈A)≈exp[−a_ε inf_{x∈A}I(x)] coglie l'idea principale
Il principio formale fornisce limiti inferiori e superiori separati per insiemi aperti e chiusi, invece di un'uguaglianza esatta per ogni evento
La funzione di costo I è non negativa e di solito si annulla negli stati tipici; una buona funzione di costo ha insiemi di livello compatti
I cumulanti possono rivelare il tasso
Secondo le condizioni di Gärtner–Ellis, una funzione cumulante-generatrice scalata limite Λ(θ) può produrre I(x)=sup_θ{θx−Λ(θ)}
Questa trasformata di Legendre–Fenchel seleziona il tilt esponenziale che rende tipico l'estremo raro sotto una misura cambiata
La conclusione richiede controlli su dominio, differenziabilità e ripidità; una trasformata finita in pochi valori di θ non è sufficiente
Le asintotiche delle opzioni ereditano il percorso raro meno costoso
Un'opzione out-of-the-money paga solo oltre uno strike, quindi il suo prezzo principale può essere governato dallo stato o dal percorso meno costoso che raggiunge quella regione di payoff
Il principio di contrazione trasferisce una funzione di costo attraverso mappe come una regola da percorso a prezzo terminale o di aggregazione di un paniere
Dopo aver abbinato l'asintotica dell'opzione a un prezzo di riferimento, si può derivare il comportamento principale della volatilità implicita per la stessa regime di scala
Il regime deve essere nominato esplicitamente
Piccola scadenza, piccolo rumore di volatilità, grande scadenza e strike estremo sono limiti diversi e possono produrre funzioni di costo diverse
Una formula dimostrata con log-moneyness fissa mentre la scadenza si riduce non deve necessariamente valere quando anche lo strike si muove con la scadenza
L'ordine esponenziale principale non determina il prefattore, la curvatura a scadenza finita o la rapidità con cui uno smile quotato si avvicina al limite
Le funzioni di costo non sostituiscono l'assenza di arbitraggio
Uno smile asintotico può comunque violare monotonicità del prezzo della call, convessità rispetto allo strike, ordinamento per calendario o limiti di prezzo quando viene usato fuori dal proprio dominio
Una legge terminale risk-neutral deve inoltre conservare la condizione di martingala dell'attività attualizzata, che una comoda approssimazione di coda può non rispettare
Usa la teoria come vincolo strutturale o guida all'estrapolazione, poi imponi l'assenza di arbitraggio statico sull'intera superficie dei prezzi
La validazione deve testare scala e struttura
Stima logaritmi delle probabilità o prezzi delle opzioni per diversi valori di ε o della scadenza e controlla se le pendenze si stabilizzano al tasso previsto
Confronta ove possibile con prezzi Monte Carlo, di trasformata o PDE, anche vicino al confine tra regioni di eventi centrali e rari
Registra a ogni implementazione scala, misura, variabile di stato, dominio della funzione di costo, trattamento del prefattore e controlli di arbitraggio
Domande frequenti
Che cos'è un principio delle grandi deviazioni?
È una coppia di limiti esponenziali superiore e inferiore per le probabilità, governata da una velocità e da una funzione di costo mentre una scala diventa estrema
Come influenza una funzione di costo il volatility smile di un'opzione?
Può determinare il costo principale per raggiungere la regione di payoff dell'opzione, da cui si può poi dedurre il comportamento principale della volatilità nello stesso limite
La teoria delle grandi deviazioni è uguale a un modello di distribuzione di coda?
No. Fornisce un decadimento logaritmico asintotico secondo ipotesi dichiarate e può non specificare una distribuzione normalizzata a scala finita o un prefattore
Posso usare una formula delle grandi deviazioni per ogni scadenza e strike?
No. Il regime di scala fa parte del teorema, e cambiare il modo in cui si muovono scadenza, rumore o strike può cambiare la risposta