機率積分轉換：如何評估密度預測的校準

點預測可能表示翌日回報為 0.2%；密度預測則為整個回報範圍分配機率，涵蓋一般波動與極端事件。評估要問：結果發生前發布的分布，是否符合之後的觀察？Mincer–Zarnowitz 指南討論數值點預測的線性校準，是另一個問題。

PIT 衡量預測分配給「不高於實際值」的累積機率。它是機率排名，不是回報、交易訊號或盈利指標。Diebold–Mariano 指南按指定評分比較平均預測損失，與密度校準回答的問題不同。

令預測起點 (t) 後的結果為 (Y_{t+1})，令 (F_{t+1}(y\mid\mathcal I_t)) 為只根據當時可得資訊 (\mathcal I_t) 的預測累積分布函數（CDF）。連續分布的 PIT 為

Uₜ₊₁ = Fₜ₊₁(Yₜ₊₁ | 𝓘ₜ)

CDF 表示取值不高於 (y) 的機率。如果預測 CDF 是真實條件分布，PIT 定理給出

Pr(Uₜ₊₁ ≤ u | 𝓘ₜ) = u, for 0 ≤ u ≤ 1

因此，理想的連續一步預測會在給定預測資訊時產生均勻 PIT。若序列的資訊集合包括過去，在適當假設下，理想 PIT 在預測起點之間亦互相獨立。Rosenblatt 研究此轉換；Diebold、Gunther 與 Tay 將 PIT 序列用於密度預測評估（1952；1998）。

手動示例：預測為 (N(0,1))，觀察值為 (y=1)，則 PIT 為 (Phi(1)\approx0.8413)，即預測分配約 84.13% 機率予不高於 1 的值。單一觀察無法判斷校準，須要一組預測及結果。

離散 CDF 會在可能結果處跳躍，所以一般的 (F(Y)) 只會取有限數值，即使預測正確通常亦不均勻。隨機 PIT 會填滿每個跳躍區間：

Uₜ₊₁ = Fₜ₊₁(Yₜ₊₁⁻ | 𝓘ₜ) + Vₜ₊₁ [Fₜ₊₁(Yₜ₊₁ | 𝓘ₜ) − Fₜ₊₁(Yₜ₊₁⁻ | 𝓘ₜ)]

(F(y^-)) 是左極限，即結果嚴格小於 (y) 的機率；(V) 是只用於評估的獨立 Uniform(0,1) 隨機值。連續分布沒有跳躍，公式便簡化為 (F(Y))。Brockwell 證明此隨機轉換適用於一般分布，包括離散和混合分布（2007）。對有序計數資料，Czado、Gneiting 與 Held 亦討論非隨機 PIT 和邊際校準圖；不可將離散 (F(Y)) 當成連續均勻變數評估（2009）。

假設 Bernoulli 預測滿足 (P(Y=1)=0.20) 和 (P(Y=0)=0.80)。一般 PIT 在 (Y=0) 時是 0.80，在 (Y=1) 時是 1.00，因此不均勻。隨機化後，(Y=0) 映射至 ([0,0.80]) 中的 (0.80V)，(Y=1) 映射至 ([0.80,1]) 中的 (0.80+0.20V)。按事件機率加權後，整體密度在 ([0,1]) 上均勻。隨機值只供評估，並非預測的一部分。

PIT 邊際分布均勻是理想連續預測的必要條件，但並不足夠。不同市場狀態中的相反錯誤，匯總後可能互相抵銷，令直方圖看似平坦。Gneiting、Balabdaoui 與 Raftery 指出，PIT 近乎均勻仍可與個別預測偏差並存（2007）。

次序亦重要：序列的邊際直方圖可以均勻，但仍有時間依賴，例如數值聚集或長串相近值。理想條件預測所要求的多於匯總均勻性。若預測期重疊，參考分布和獨立性條件亦須反映重疊；不可假設 iid 檢驗必定適用。

除 PIT 分布外，也要檢查它與時間、滯後值、預測起點變數及預先設定狀態的關係。分組圖或條件檢驗可揭示隱藏模式，但分組選擇及有限樣本仍有限制。有限的檢驗組合不能證明對所有可能條件變數都已校準。

U 形通常與預測過度集中或離散程度不足相符；中央隆起通常與預測過度分散相符；左右不對稱可能提示位置偏差。這些是經驗線索，不是唯一診斷：依賴、狀態混合、離散結果、分箱和小樣本均可造成誤讀。

直方圖會丟失觀察次序，無法顯示問題何時開始、極端 PIT 是否聚集或某個子群是否失準。分箱太闊可能掩蓋問題；太窄則可能受抽樣噪音影響。盡可能報告預測數量、箱界及不確定性。Diebold–Gunther–Tay 框架和 Berkowitz 檢驗均須配合設計假設。Berkowitz 把內部 PIT 轉成 (Z_t=\Phi^{-1}(U_t))，檢驗獨立標準常態值的聯合原假設，對比指定的動態備擇（例如 AR(1)）；它不是通用合格證（2001）。

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均勻性結果假設 CDF 是真實條件分布。實務上要估計參數、選擇分布族，也可能調整門檻和特徵。因此 (F_{t+1}(\cdot;\hat\theta_t)) 是預測程序的一部分。若用評估期結果擬合模型，再把 PIT 說成未受影響的樣本外證據，便會造成資料洩漏。

滾動評估要在每個預測起點只使用當時可得資料，並記錄估計視窗、重新估計頻率、資料版本、模型版本和選擇步驟。相鄰視窗通常共享觀察值；結果重疊亦會增加依賴。

檢驗大小與檢力取決於估計量、樣本和方法。PIT 直方圖不會處理參數不確定性；課本的 iid 參考值亦不適用於所有估計或重疊設計。若推論重要，選擇符合設計的檢驗，或重做整個估計與預測流程來模擬／bootstrap 原假設。需要時，把最後評估樣本留在模型選擇之外。

校準關乎預測與結果的關係：獲分配某一機率的事件，是否以相應頻率發生？銳度描述預測分布本身的集中程度，不查看結果。Gneiting、Balabdaoui 與 Raftery 認為銳度應以校準為前提追求，而非校準的替代品。

較寬的預測可以校準良好，但資訊較少；較窄的預測看似精確，若結果頻繁落在其機率質量以外，仍可能校準欠佳。PIT 檢查分布一致性，銳度摘要描述分散程度或區間寬度。只報告其中一項會遺漏部分評估。

匯總 PIT 平坦仍可能掩蓋波動狀態或預測期的錯誤。重要條件應預先界定。這與點預測迴歸及 Giacomini–White 條件預測能力檢驗相關但不同；後者按指定資訊比較條件預測損失。

PIT 主要是診斷，不會單獨為密度預測排名。對數評分和連續排序機率評分（CRPS）為每個預測—結果配對給出標量損失；按定義，真實預測分布的期望損失最低。但單一樣本的平均值不能證明模型正確。Model Confidence Set 指南說明集合式比較。比較密度預測時，應使用針對完整分布定義的評分，並套用於相同結果。

交代目標、預測期、共同日期、損失慣例及基準。對數評分對觀察值位置的極低密度特別敏感；CRPS 以不同方式比較 CDF。評分差異的不確定性要考慮時間依賴、估計和模型搜尋。PIT 圖和評分各有用途，可一併報告。

校準或較佳評分均不能證明交易盈利。交易主張另須交代決策規則、資訊可用時間、持倉規模、交易與資金成本，並作樣本外回報評估。預測評估統計量不是回測回報。

先固定目標、預測期、起點時間、結果版本，以及分布屬連續、離散或混合。保存每個預測 CDF 或足以重建它的資料，連同實際值和資訊集合。連續情況計算 (F_t(Y_t))；有跳躍時記錄隨機 PIT 方法，或採用合適的離散診斷。

檢查邊際分布和時間次序，交代分箱、樣本量、相同值處理，以及隨機種子或重複隨機化方法。針對預先界定的問題加入獨立性或條件檢查，並採用適合滾動、重疊或估計設計的推論方法。另用適當評分在相同留出結果上比較模型。結論只適用於已界定的預測和條件，不保證未來校準或交易盈利。