CAViaR: ערך בסיכון מותנה אוטורגרסיבי

נסמן \(L_t=-r_t\) כהפסד התיק, כך שהפסד חיובי ורווח שלילי. ברמת ביטחון \(\alpha\), תחזית VaR לתקופה אחת היא הקוונטיל המותנה העליון \[ v_t^\alpha=Q_\alpha(L_t\mid\mathcal F_{t-1}), \] כאשר \(\mathcal F_{t-1}\) מכילה את המידע הזמין לפני שנצפה ההפסד בתקופה \(t\). עבור \(\alpha=0.99\), היעד הוא סף שכ- \(1-\alpha=1\%\) מההפסדים העתידיים אמורים לחרוג ממנו כאשר הקוונטיל המותנה מוגדר כראוי. ההפסד שהתממש יכול לחרוג מ-VaR בכל סכום; VaR אינו תקרת הפסד.

CAViaR הוא קיצור של Conditional Autoregressive Value at Risk, והוא מגדיר באמצעות רקורסיה כיצד הקוונטיל משתנה לאורך זמן. במקום לאמוד את ההתפלגות המותנית כולה ואז לחלץ ממנה נקודה בזנב, הוא ממדל את הנקודה ישירות. Engle ו-Manganelli הציגו את משפחת המודלים ואמדו את הפרמטרים באמצעות רגרסיה קוונטילית (מאמרם מ-2004). לרמת הקוונטיל יש חשיבות: למודלים של 95% ושל 99% עשויה להיות דינמיקה שונה, ואף אחד מהם אינו מתאר את הזנב כולו.

צורה כללית לתקופה אחת היא \[ v_t^\alpha=f(v_{t-1}^\alpha,L_{t-1},X_{t-1};\beta), \] כאשר \(X_{t-1}\) כוללים מנבאים מותרים נוספים ו-\(\beta\) הוא וקטור פרמטרים לאמידה. הקוונטיל המפגר מעניק לתחזית זיכרון; הפסדים או מנבאים בפיגור מאפשרים למידע חדש להזיז את הסף. המבנה מזכיר רקורסיית תנודתיות משום שלתנאים קודמים יש חשיבות, אך המשתנה שמתעדכן הוא קוונטיל ולא שונות מותנית.

לדוגמה, מפרט ערך מוחלט סימטרי (SAV) הוא \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2|L_{t-1}|. \] הוא מגיב לגודל התנועה הקודמת, אך מתייחס לרווחים ולהפסדים באופן סימטרי באמצעות הערך המוחלט. האיבר האוטורגרסיבי גורם לתחזית להתמיד אחרי זעזוע ואז לדעוך כאשר הקלטים הבאים משתנים. יש לאמוד ולהעריך את ההתמדה; מסלול חלק למראה אינו מוכיח שהקוונטיל מכויל.

CAViaR כולל גם אפשרויות אחרות, כגון עדכון אדפטיבי שתלוי בשאלה אם התצפית הקודמת חצתה את הסף הקודם, וכן צורת GARCH עקיפה הכוללת רקורסיה דמוית שונות. אלה מפרטים חלופיים, ולא שמות שאפשר להחליף ביניהם. הצורה הפונקציונלית קובעת איזה מידע היסטורי יכול להזיז את הקוונטיל ואיזו תגובה המודל המותאם מסוגל לבטא.

כדי לאפשר לתצפיות ירידה ועלייה להשפיע באופן שונה על קוונטיל ההפסד הבא, נגדיר את הגדלים החיוביים \(L^+=\max(L,0)\) ו-\(L^-=\max(-L,0)\). צורה אחת עם שיפועים א-סימטריים היא \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2L_{t-1}^{+}+\beta_3L_{t-1}^{-}. \] הפסד חיובי של התיק נכנס באמצעות \(L^+\); רווח נכנס באמצעות \(L^-\). השיפועים הנאמדים אינם חייבים להיות שווים. אם המודל נכתב עבור תשואות ועבור קוונטיל תשואה תחתון במקום הפסדים חיוביים, מוסכמת הסימנים משתנה. לכן על מאמר או מימוש להבהיר במדויק את המשתנה התלוי ואת המשמעות של החלקים החיובי והשלילי.

הגמישות הזאת אינה מוכיחה שלשווקים יש אפקט מינוף א-סימטרי. היא מאפשרת לקוונטיל המותנה שנבחר להגיב באופן שונה לשני הרכיבים, בהינתן הרקורסיה והמדגם. המקדמים נאמדים ואינם קבועים ידועים; הסימן והגודל שלהם תלויים ביחידות ובפרמטריזציה. יש להשוות את הצורה הזאת למפרט סימטרי ולהעריך את שניהם מחוץ למדגם האמידה.

<!-- Illustration placement: after section 3; text-free conceptual view of a conditional loss-quantile ribbon moving over time, responding more after a large loss than after an upside move, with a few conceptual threshold crossings. No axes, labels, values, or market data. -->

עבור פרמטרים מועמדים \(\beta\), חשבו תחילה את המסלול הרקורסיבי המלא \(v_t^\alpha(\beta)\). לאחר מכן מזערו את ההפסד הקוונטילי, או הפסד check: \[ \widehat\beta=\arg\min_\beta\sum_{t=1}^{T}\rho_\alpha\!\left(L_t-v_t^\alpha(\beta)\right), \qquad \rho_\alpha(u)=u\left(\alpha-\mathbf 1\{u<0\}\right). \] בקוונטיל עליון של הפסדים, תחזית נמוכה מדי עם \(u>0\) מקבלת משקל \(\alpha\), ותחזית גבוהה מדי עם \(u<0\) מקבלת משקל \(1-\alpha\). ב-\(\alpha=0.99\), פונקציית ההפסד מענישה החמצה של הפסד גדול יותר מאשר כרית עודפת באותו גודל. זה אינו הפסד ריבועים, והמקדמים אינם נבחרים כדי להתאים את התוחלת המותנית.

זהו רעיון הרגרסיה הקוונטילית שפיתחו Koenker ו-Bassett (מאמר מ-1978), המיושם על מסלול קוונטיל שנוצר רקורסיבית. לרגרסיה קוונטילית ליניארית יש מבנה קמור שימושי, אך הצורות הרקורסיביות הלא-ליניאריות של CAViaR עלולות להפוך את האופטימיזציה לרגישה לערכי התחלה ולמינימום מקומי. אומדן מעשי צריך לתעד את פונקציית המטרה, אילוצי הפרמטרים, הליך האופטימיזציה, בדיקות ההתכנסות ותוצאות מהתחלות חלופיות. פלט רגיל של ריבועים פחותים אינו תחליף להסקה סטטיסטית ברגרסיה קוונטילית.

יש לספק או לאמוד את הערך הרקורסיבי הראשון \(v_0^\alpha\). אפשרות שקופה היא קוונטיל עליון אמפירי של הפסדים בחלון טרום-מדגם שמסתיים לפני תקופת ההערכה. מימושים אחרים אומדים את הערך ההתחלתי יחד עם הפרמטרים או משתמשים בתקופת חימום מתועדת. יש להחיל את הכלל שנבחר בעקביות על המפרטים המועמדים ולדווח כמה תצפיות משמשות לאתחול הרקורסיה. אם המקדם המפגר מתמיד, לאתחול המוקדם עשויה להיות השפעה על תחזיות מאוחרות רבות.

אומדני קוונטיל רקורסיביים עשויים להיות לא-ליניאריים בפרמטרים שלהם גם אם המשוואה המוצגת נראית פשוטה. וקטורי התחלה שונים עשויים להתכנס לפתרונות מקומיים שונים; התכנסות רק אומרת שכלל העצירה המספרי התקיים. השתמשו בכמה ערכי התחלה סבירים לפי הצורך ובדקו את המסלולים שהתקבלו. יש להבחין בין אילוץ מספרי—למשל דרישה שסף ההפסד יהיה לא-שלילי—לבין עובדה כלכלית. אין גבול יחיד למקדמים שמבטיח יציבות בכל מפרט CAViaR. התנאים תלויים בצורה, בזיהוי ובהתנהגות תהליך הקלט; גם התוצאות האסימפטוטיות במאמר המקורי מסתמכות על הנחות מפורשות ומחריגות מקרים מתפוצצים.

גם לאי-ודאות יש חשיבות. תצפיות זנב נדירות, בייחוד ברמת 99%, והצפיפות המותנית ליד הקוונטיל היעד משפיעה על דיוק האומד. שגיאות תקן לקוונטילים רקורסיביים לא-ליניאריים דורשות שיטות המתאימות להקשר, כגון אומדים אסימפטוטיים מתאימים או bootstrap שתוכנן בקפידה. קו מותאם שנראה מדויק אינו מוכיח שסיכון הזנב ידוע בדיוק.

במועד התחזית \(t-1\), אמדו את הפרמטרים וחשבו את \(v_t^\alpha\) באמצעות תשואות ומשתני עזר שהיו זמינים עד אותו מועד בלבד. השוו את התחזית ל-\(L_t\) לאחר תום התקופה. אם המודל נאמד מחדש בחלון מתגלגל או מתרחב, כל חלון חייב להסתיים במועד התחזית המוצהר. שימוש ב-\(L_t\) כדי לחשב את \(v_t^\alpha\), או בנתונים מתוקנים שלא היו זמינים אז, מכניס מידע עתידי לתחזית.

התאימו את היעד לתיק ולאופק בפועל. VaR יומי לתיק במשקולות קבועות אינו בהכרח VaR לחשבון שההחזקות בו משתנות במהלך היום, וקוונטיל ליום אחד אינו תחזית סיכון לכמה ימים. דווחו על בניית התשואה, המטבע, האופק, שעת סגירת השוק, איזון התיק מחדש ועיתוי הזמינות של כל מנבא. טרנספורמציות של מנבאים, אירועי חברה, מחירים מיושנים ומפגשי מסחר חסרים עשויים לשנות את קבוצת המידע ואת דינמיקת הקוונטיל.

הרקורסיה הרגילה מיועדת באופן טבעי לצעד אחד קדימה, כי \(v_t\) משתמש ב-\(L_{t-1}\) שנצפה. בתחזית לכמה צעדים, ההפסדים המאוחרים עדיין אינם ידועים. איטרציה של המשוואה תוך הצבת הפסדים עתידיים שהתממשו תהיה שימוש במידע עתידי. VaR רב-תקופתי מחייב הליך מפורש למסלול העתידי הלא ידוע—כגון סימולציה או מודל נפרד למספר אופקים—ויש להעריך את הנחותיו בנפרד.

נניח שתחזית VaR יומית היפותטית להפסד ברמת 99% פועלת לפי רקורסיית השיפועים הא-סימטריים שלעיל. הפסדים ו-\(v\) נמדדים בנקודות אחוז, והפרמטרים להמחשה בלבד, לא אומדים, הם \(\beta_0=0.10\), \(\beta_1=0.80\), \(\beta_2=0.35\) ו-\(\beta_3=0.10\). אם התחזית הקודמת הייתה \(2.00\%\) וההפסד אתמול היה \(3.00\%\), אז \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(3.00)+0.10(0)=2.75\%. \] בדוגמה הזאת, ההפסד הגדול יותר מעלה את הסף להיום. אם אתמול התיק היה מרוויח \(3.00\%\), אז \(L_{t-1}=-3.00\%\), והענף האחר היה נותן \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(0)+0.10(3.00)=2.00\%. \] המקדמים נבחרו רק כדי להמחיש את הרקורסיה; מדגם או פרמטריזציה אחרים עשויים להניב תגובה אחרת.

אם ההפסד שהתממש היום הוא \(3.20\%\), הוא חוצה את התחזית של \(2.75\%\), ולכן אינדיקטור החריגה הוא אחד. חריגה יחידה אינה מוכיחה שהמודל גרוע, כשם שיום ללא חריגה אינו מאמת אותו. בכיול מותנה תקין, התוחלת המותנית של אינדיקטור החריגה בהינתן המידע במועד התחזית צריכה להיות \(1-\alpha\). במדגם ארוך, הממוצע אמור להיות קרוב לשיעור הזה, בכפוף לתנודתיות המדגם.

VaR הוא מדד הסיכון: קוונטיל הפסד מותנה בהסתברות מוגדרת. CAViaR היא שיטה לחיזוי המדד הזה. Expected Shortfall עונה על שאלה אחרת: ממוצע ההפסד בזנב שנבחר מעבר ל-VaR, לפי ההגדרה הרלוונטית. מסלול הקוונטיל של CAViaR לבדו אינו קובע את ממוצע הזנב הזה או את צורת ההפסדים מעבר לסף. המדריך על VaR לעומת Expected Shortfall משווה בין המדדים.

GARCH ממדל באופן רקורסיבי שונות מותנית (או תנודתיות); לאחר מכן נדרשת הנחת התפלגות לחדשנות מתוקננת כדי לתרגם את השונות לקוונטיל VaR. ARCH ו-GARCH קשורים למודל ARCH של Engle ולהרחבת GARCH של Bollerslev90063-1). CAViaR ממדל את הקוונטיל ישירות ואינו דורש צפיפות מותנית מלאה, אף שהוא עדיין מניח הנחות דרך הדינמיקה שנבחרה. מפרט CAViaR מסוג GARCH עקיף הוא גשר מיוחד בין הגישות, ולא ראיה לכך שכל מודלי CAViaR הם מודלי GARCH. ראו גם את המדריך הנפרד על התקבצות תנודתיות ב-GARCH.

הפסד קוונטילי נמוך במדגם אינו תעודת ביטוח לסיכון מחוץ למדגם. שמרו תקופת הערכה כרונולוגית, הפיקו כל תחזית באמצעות מידע מן העבר בלבד, ודווחו הן על שיעור החריגות והן על השאלה אם הן מתקבצות או ניתנות לחיזוי ממידע קודם. מבחן תדירות בלתי מותנית כמו של Kupiec (1995) ומבחן כיסוי מותנה כמו של Christoffersen (1998) עונים על שאלות שונות. מבחן הקוונטיל הדינמי של Engle ו-Manganelli בוחן אילוצים נבחרים על חריגות ממורכזות ועל משתני עזר שנבחרו. אף אחד מהם אינו בוחן כל שגיאת מפרט אפשרית. מדריך בדיקת VaR לאחור מסביר בדיקות לרצף חריגות. כדי להשוות שתי תחזיות קוונטיל, חשבו את אותו הפסד check בתאריכים תואמים והשוו את הפרש ההפסדים התלוי באמצעות מבחן Diebold–Mariano; הוא בוחן הפסד תחזית יחסי, לא כיול VaR או רווחי מסחר.

התוצאות עשויות להשתנות לפי הסתברות הזנב, הרקורסיה, האתחול, חלון האמידה, התיק ותאריכי ההערכה. מודל שמתאים לקוונטיל אחד עשוי להתאים באופן גרוע לאחר, וקוונטילים שנאמדו בנפרד עשויים להצטלב. שברים מבניים, קיצונים מקובצים, נתוני זנב דלילים, החזקות משתנות, פערי שוק, נזילות ועלויות ביצוע אינם נפתרים באמצעות משוואת VaR רקורסיבית. VaR גם אינו אומר מה חומרת ההפסד לאחר חריגה. התייחסו לתוצאה כסף סיכון מבוסס מודל שיש לנטר, ולא כתקרת הפסד, תחזית רווח או כלל מסחר עצמאי.