Kalman-Filter-Hedge-Quote: dynamische Regression für Pair-Trading

Bei einer festen Hedge-Quote wird ein Koeffizient anhand einer Bildungsstichprobe geschätzt und danach konstant gehalten. Ein dynamisches Hedge-Modell behandelt Achsenabschnitt und Steigung dagegen als latente Größen, die sich im Zeitverlauf ändern können. Der Kalman-Filter schätzt diese Größen rekursiv, indem er die vorherige Schätzung mit den Informationen einer neuen Beobachtung kombiniert.

Für zwei mögliche Vermögenswerte sei \(y_t\) der Logpreis des einen und \(x_t\) der Logpreis des anderen. Eine veränderliche langfristige Regression lässt sich als \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\) schreiben. Der Koeffizient \(\beta_t\) beschreibt die angepasste Beziehung zum Zeitpunkt \(t\); er ist nicht automatisch eine Stückzahl, eine dollarneutrale Position oder ein stabiles ökonomisches Gesetz.

Diese Anwendung nutzt die allgemeine Vorhersage- und Aktualisierungsrekursion eines linearen Zustandsraummodells. Kalman führte den rekursiven Filteransatz ein; spätere ökonometrische Arbeiten wandten ihn auf zeitvariable Regressionskoeffizienten an. Ein Pair-Trading-Modell mit stochastischem Spread ist eine mögliche Anwendung, doch seine Handelsannahmen müssen unabhängig vom Filteralgorithmus beurteilt werden.

Definieren Sie den Zustandsvektor und die Beobachtungszeile als

\[ \theta_t=\begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

Die Beobachtungsgleichung lautet \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\). Sie besagt, dass der beobachtete Logpreis mit dem latenten Achsenabschnitt und Hedge-Koeffizienten sowie Beobachtungsrauschen zusammenhängt. Ein häufiger Ausgangspunkt lässt beide Koeffizienten Random Walks folgen:

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

Dabei ist \(Q\) die Kovarianz der Koeffizientenänderungen und \(R\) die Varianz des Beobachtungsrauschens. Bei \(Q=0\) sind die Koeffizienten in diesem Modell fest; ein positives \(Q\) lässt sie driften. Andere Zustandsübergänge sind möglich, doch jeder behauptet etwas anderes darüber, wie sich die Beziehung verhält.

Diese einfache Spezifikation setzt Störungen des Prozesses und der Beobachtung mit Erwartungswert null voraus, die seriell unkorreliert und voneinander unabhängig sind. Das sind Modellannahmen; Preisbeobachtungen erfüllen sie nicht automatisch.

Am Ende von \(t-1\) verfügt der Filter über eine Schätzung \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) und eine Kovarianz \(P_{t-1|t-1}\). Die Zustandsannahme eines Random Walks liefert

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

Die Schätzung wird fortgeschrieben, während die Unsicherheit um die zugelassene Kovarianz der Koeffizientenänderung zunimmt. \(P\) beschreibt unter dem spezifizierten Modell die Unsicherheit des latenten Regressionszustands. Es prognostiziert weder den Handelsverlust des Paars noch misst es das gesamte Portfoliorisiko.

Die Ein-Schritt-Vorhersage der Beobachtung lautet \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\). Dieser vorherige Zustand ist wichtig, weil er ohne das neue \(y_t\) berechnet wurde. Wird ein Residuum stattdessen nach Aktualisierung der Koeffizienten anhand derselben Beobachtung ermittelt, hat die Aktualisierung es bereits in Richtung null verschoben.

Da \(H_t\) den Wert \(x_t\) enthält, beeinflusst der aktuelle erklärende Preis sowohl \(S_t\) als auch den Gain. Wenn die Unsicherheit der Steigung erheblich ist, können Beobachtungen mit unterschiedlichen \(x_t\)-Werten verschieden viel Information über \(\beta_t\) liefern; die Kovarianz zwischen Achsenabschnitt und Steigung spielt ebenfalls eine Rolle. Zentrieren oder Skalieren von \(x_t\) ändert den Achsenabschnitt und die Einheiten des Koeffizienten. Daher müssen die entsprechenden Elemente von \(Q\) und des anfänglichen \(P\) transformiert oder neu geschätzt werden, statt unverändert übernommen zu werden.

Trifft die neue Beobachtung ein, ist ihr Ein-Schritt-Prognosefehler, die Innovation,

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

Die Innovationsvarianz \(S_t\) verbindet die prognostizierte Zustandsunsicherheit mit dem Beobachtungsrauschen. Kalman-Gain und Zustandsaktualisierung lauten

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

Der Gain verteilt die neue Abweichung darauf, die geschätzte Beziehung zu verändern oder sie als Rauschen zu behandeln. Ein größerer Gain bedeutet eine stärkere Anpassung an diese Beobachtung, nicht eine zuverlässigere Beziehung.

Angenommen, ein hypothetischer Filter prognostiziert \(\hat\alpha=2.0\) und \(\hat\beta=1.20\), während \(x_t=50\) ist. Dann beträgt das prognostizierte \(\hat y\) 62.0. Bei einem beobachteten \(y_t=62.8\) ist die Innovation 0.8. Ist der Gain des Modells \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\), betragen der aktualisierte Achsenabschnitt 2.064 und die Steigung 1.2048. Diese erfundenen Werte veranschaulichen nur die Rechnung; sie sind weder eine empirische Hedge-Quote noch ein Beleg dafür, dass sich die Abweichung umkehrt.

Die Prozessrauschmatrix \(Q\) legt fest, wie stark sich die Regressionskoeffizienten zwischen Beobachtungen verändern dürfen. Ein größeres \(Q\) erhöht im Allgemeinen den Gain und macht die Schätzung reaktionsschneller. Sie kann einer echten Veränderung früher folgen, aber auch vorübergehendem Rauschen nachlaufen und stark schwankende Hedge-Gewichte erzeugen. Ein sehr kleines \(Q\) glättet die Schätzung, lässt sie aber womöglich einer tatsächlichen Strukturänderung hinterherhinken.

Die Beobachtungsrauschvarianz \(R\) beschreibt Schwankungen von \(y_t\), die die Beziehung nicht erklärt. Bleiben die übrigen Größen gleich, vertraut der Filter jeder neuen Beobachtung bei größerem \(R\) weniger. Weder \(Q\) noch \(R\) ist eine universell gültige Einstellgröße. Ihre Skala hängt davon ab, ob Preise, Logpreise oder normalisierte Reihen verwendet werden, und auch vom Beobachtungsintervall.

Eine analysierende Person kann die Rauschparameter per Likelihood schätzen oder anhand eines Trainingsfensters vorab festlegen. Eine Anpassung an die Ergebnisse der späteren Handelsperiode würde jedoch Informationen aus der Zukunft einbeziehen. Auch der Anfangszustand \(\hat\theta_{0|0}\) und seine Kovarianz \(P_{0|0}\) sind relevant: Große Anfangsunsicherheit kann eine Phase rascher früher Anpassungen auslösen. Berichten Sie die Initialisierung, die Stichprobe zur Parameterschätzung und die Empfindlichkeit gegenüber vernünftigen Alternativen.

Eine gefilterte Schätzung \(\hat\theta_{t|t}\) nutzt Beobachtungen bis einschließlich \(t\). Eine geglättete Schätzung für \(t\) kann Beobachtungen verwenden, die erst später eintreffen. Glättung kann helfen, frühere latente Zustände zu beschreiben; zu einem damaligen Handelszeitpunkt stand sie aber nicht zur Verfügung.

Dasselbe Timingproblem betrifft die Schätzung von \(Q\), \(R\), die Auswahl des Paars und Signalgrenzen. Werden sie einmal mit der vollständigen Stichprobe angepasst, profitieren frühere Schätzungen von späteren Beobachtungen, selbst wenn die Koeffizientenrekursion selbst nur vorwärts läuft. Für eine Echtzeitsimulation schätzen Sie Hyperparameter nur anhand einer Bildungsperiode, halten Sie diese fest oder aktualisieren Sie sie nach einem angegebenen Walk-Forward-Plan und treffen Sie jede Positionsentscheidung anhand der vor der Ausführung verfügbaren Informationen.

Beobachtungszeit ist nicht Ausführungszeit. Wenn der Schlusskurs bei \(t\) für die Berechnung von \(v_t\) benötigt wird, darf ein Backtest keine Ausführung zum selben Schlusskurs annehmen, sofern der Ausführungsprozess dies nicht ermöglicht. Verwenden Sie den nächsten ausführbaren Kurs oder ein vertretbares Ausführungsmodell und berücksichtigen Sie Spread, Markteinfluss, Gebühren, Leihkosten und Finanzierung.

In einer Pair-Studie ist die Innovation \(v_t\) vor der Aktualisierung die Abweichung von der zuvor angepassten Beziehung. Durch Division durch \(\sqrt{S_t}\) entsteht eine standardisierte Innovation unter dem Modell. So lassen sich Abweichungen bei unterschiedlicher geschätzter Unsicherheit vergleichen. Sie sagt jedoch nicht, wie viel von jedem Vermögenswert gekauft oder verkauft werden soll oder ob eine große Abweichung umkehrt.

Das Residuum nach der Aktualisierung \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) ist eine andere Größe, da es die aktuelle Beobachtung zur Anpassung der Koeffizienten verwendet. Dieses Residuum mit einem Schwellenwert vor der Aktualisierung zu vermischen, ändert die Bedeutung des Signals. Definieren Sie Spread, Zeitpunkt und Schwellenwert ausdrücklich und geben Sie an, ob der Koeffizient vorhergesagt, gefiltert oder geglättet ist.

Auch wenn \(\beta_t\) anhand von Logpreisen geschätzt wird, erfordert die Umsetzung in Aufträge eine separate Positionsregel. Gewichte für Logpreise legen keine Stückzahlen oder Kontraktmengen fest. Preise, Kontraktmultiplikatoren, Währungen und Kontobeschränkungen bestimmen die Dollar-Exponierung; der Achsenabschnitt ist kein handelbarer Vermögenswert. Kosten für Rebalancing und Veränderungen der Exponierung zwischen Koeffizientenaktualisierungen sind ebenfalls relevant.

Ein langsam driftender Koeffizient kann eine nützliche Darstellung gradueller Veränderungen sein, aber auch eine Beziehung auffangen, die zusammengebrochen ist. Ein Modell mit flexiblen Zuständen kann ein kleines angepasstes Residuum erzeugen, obwohl kein stabiles langfristiges Gleichgewicht vorliegt. Der Filter testet keine Kointegration und garantiert keine Stationarität seines Residuums.

Auch die Paarwahl ist relevant. Werden viele Vermögenswerte durchsucht und das Paar mit dem glattesten In-Sample-Residuum ausgewählt, erfolgt die Auswahl anhand derselben Daten, mit denen Stabilität behauptet wird. Kapitalmaßnahmen, veraltete Kurse, asynchrone Schlusskurse, Leerverkaufsbeschränkungen, veränderte Liquidität und Regimewechsel können geschätzte Zustände verändern oder eine theoretische Hedge-Position schwer ausführbar machen.

Prüfen Sie neben der angepassten Linie auch Residuenverhalten, Zustandsunsicherheit, Umschlag und Koeffizientenpfade. Verwenden Sie chronologische Halteperioden und vergleichen Sie mit einer festen Hedge-Quote. Eine anpassungsfähigere Schätzung muss nach realistischen Kosten den zusätzlichen Umschlag und das Schätzrisiko rechtfertigen; optische Glätte allein ist kein Leistungsergebnis.

Geben Sie an, welche Preis- oder Renditereihen modelliert werden, wie sie transformiert sind, welche Beobachtungsfrequenz und Stichprobendaten verwendet werden und welcher Vermögenswert auf welcher Seite der Regression steht. Berichten Sie Beobachtungs- und Zustandsgleichung, Übergangsmatrix, \(Q\), \(R\), Initialisierung, Schätzverfahren und ob die gezeigten Zustände gefiltert oder geglättet sind.

Definieren Sie für Handelsergebnisse die Innovation oder den Spread des Signals, seine Normalisierung, den Entscheidungszeitpunkt, die Verzögerung bis zur Order, Positionsgrößen, Rebalancing-Regeln und sämtliche Ausführungskosten. Beschreiben Sie die Paarselektion, Trainings- und Testfenster, die erneute Anpassung der Rauschparameter und das Verhalten der Strategie nach Strukturbrüchen oder fehlenden Beobachtungen. Vergleichen Sie feste und dynamische Koeffizienten auf denselben chronologischen Zeitabschnitten.

Kalmans Arbeit zum linearen Filtern entwickelt den rekursiven Ansatz. Hatanaka untersucht Regressionen mit zeitvariablen Koeffizienten. Elliott, van der Hoek und Malcolm formulieren ein stochastisches Modell für Pair-Trading. Verwandte Themen behandeln die Leitfäden zu Kalman-Vorhersage und -Aktualisierung, Kointegration und Korrelation beim Pair-Trading, Johansen-Rangtests und Varianzquotiententests.