شرح عمليات ليفي ومعوّضات القفزات

في عملية ليفي X تكون الزيادات على فترات متباعدة مستقلة، ويعتمد قانون X_{t+h}-X_t على h وحدها

يستبعد الاتصال العشوائي وجود انقطاعات ثابتة في الاحتمال، بينما تعطي نسخة càdlàg مسارات مستمرة من اليمين ذات حدود يسرى

لذلك يملك النموذج قانون زيادات متجانسًا زمنيًا، وهو افتراض قوي مفيد تحليليًا لكنه قابل للاختبار تجريبيًا

يعطي اصطلاح القطع ثلاثيًا (b, σ², ν): الانجراف والتباين البراوني وقياس قفزات ليفي

يسجل القياس ν شدة القفزات المتوقعة بحسب الحجم، ويجب أن يحقق ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞

قد يغير تغيير دالة القطع الانجراف المبلغ عنه b، لكنه لا يغير القانون إذا حُوّلت كل حدود الثلاثي باتساق

تأخذ الدالة المميزة الصيغة E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u))، حيث يحدد الثلاثي ψ

تحول الزيادات المستقلة والساكنة الالتفاف عبر الزمن إلى ضرب، وهو ما يصبح تحجيمًا خطيًا للأس المميز

يدعم هذا الهيكل طرق خيارات فورييه، لكن العكس العددي ما زال يحتاج إلى التخميد والشبكة وضبط القطع

يفكك X إلى انجراف ومكوّن براوني وقفزات كبيرة وقفزات صغيرة معوضة

للقفزات الكبيرة شدة وصول منتهية فوق أي عتبة ثابتة، بينما قد تحدث قفزات صغيرة لا نهائية في زمن منتهٍ

يختلف النشاط اللانهائي عن التغير اللانهائي، ولذلك يجب فحص تكاملات ν بدل استنتاج أحدهما من الآخر

لتكن N(dt,dx) تعد قفزات الحجم x؛ في عملية ليفي يكون معوّضها dtν(dx)

تطرح العملية المعوضة Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) وصول القفزات القابل للتنبؤ وتدمج المفاجآت المناسبة في مارتينجال محلي

يمتلك مجموع القفزات الخام والتكامل المعوض انجرافين مختلفين، لذلك يغير الانتقال بينهما من دون تعديل التغير المحدود النموذج

تضبط نماذج الأصول غالبًا S_t = S_0e^{X_t} أو تستخدم أسية عشوائية، لكن الموجبية وحدها لا تجعل السعر المخصوم مارتينجالًا

يجب أن يحقق الأس المميز شرط العزوم الأسية والمارتينجال ذي الصلة تحت قياس التسعير المختار

تنشئ القفزات مخاطر غير مغطاة، لذلك قد لا تكون قياسات المارتينجال المكافئة فريدة ويحتاج التسعير إلى قاعدة اختيار إضافية

قد تلائم قفزات ليفي الالتواء والذيل الثقيل وابتسامات الاستحقاق القصير أفضل من الانتشار الخالص

تستبعد الزيادات المستقلة والساكنة تجمّع التقلب وديناميكيات الرافعة وشدة القفز المتغيرة زمنيًا ما لم يُمدد النموذج

افحص وجود العزوم وقطع القفزات الصغيرة وتصحيح المارتينجال واستقرار المعايرة واستقراء الذيل وخطأ التحوط خارج العينة