شرح الانحرافات الكبيرة وابتسامة الخيار

تصف مبرهنة الحد المركزي التقلبات المعتادة قرب المتوسط، غالبا على مقياس الجذر التربيعي

أما نظرية الانحرافات الكبيرة فتسأل كيف ينكمش احتمال مجموعة بعيدة عندما يصبح معامل مقياس ما متطرفا

وتفيد عندما يتركز عائد الخيار في نتائج نادرة جدا بحيث لا يصفها التقريب الغاوسي المحلي جيدا

بالنسبة إلى المتغيرات X_ε ذات سرعة a_ε المتجهة إلى ما لا نهاية، تلخص الصيغة P(X_ε∈A)≈exp[−a_ε inf_{x∈A}I(x)] الفكرة الأساسية

يعطي المبدأ الرسمي حدين سفليا وعلويا منفصلين للمجموعات المفتوحة والمغلقة، لا مساواة دقيقة لكل حدث

دالة المعدل I غير سالبة وتساوي عادة صفرا عند الحالات المعتادة؛ وتكون دالة المعدل الجيدة ذات مجموعات مستوية مدمجة

في ظل شروط غارتنر–إليس، يمكن لدالة مولد التراكمات المقيسة الحدية Λ(θ) أن تنتج I(x)=sup_θ{θx−Λ(θ)}

يختار تحويل ليجاندر–فينشيل هذا الإمالة الأسية التي تجعل الطرف النادر معتادا تحت مقياس متغير

تحتاج النتيجة إلى فحوص المجال وقابلية الاشتقاق والحدّة؛ فوجود تحويل منته عند بضع قيم θ لا يكفي

لا يدفع خيار خارج نطاق النقد إلا بعد تجاوز الضربة، ولذلك قد يحكم سعره الرائد الحالة أو المسار الأقل تكلفة الذي يصل إلى منطقة العائد تلك

ينقل مبدأ الانكماش دالة المعدل عبر تحويلات مثل قاعدة المسار إلى السعر النهائي أو قاعدة تجميع السلة

بعد مطابقة تقارب الخيار بسعر مرجعي، يمكن اشتقاق سلوك التقلب الضمني الرائد لنظام القياس نفسه

الأجل القصير والضوضاء التقلبية الصغيرة والأجل الطويل والضربة القصوى حدود مختلفة وقد تنتج دوال معدل مختلفة

قد لا تنطبق صيغة مثبتة مع ثبات اللوغاريتم النسبي أثناء تقلص الأجل عندما تتحرك الضربة أيضا مع الأجل

ولا تحدد الرتبة الأسية الرائدة العامل السابق أو انحناء الأجل المنتهي أو سرعة اقتراب ابتسامة مقتبسة من الحد

قد تنتهك ابتسامة تقاربية رتابة سعر الشراء أو تحدب الضربة أو ترتيب الآجال أو حدود السعر عند استخدامها خارج مجالها

ويجب أيضا أن يحافظ قانون نهائي محايد للمخاطر على شرط مارتينجال للأصل المخصوم، وقد يفوّت ذلك تقريب ذيلي مناسب

استخدم النظرية قيدا هيكليا أو دليلا للاستقراء، ثم افرض المراجحة الساكنة على سطح الأسعار الكامل

قدّر الاحتمالات اللوغاريتمية أو أسعار الخيارات عبر قيم متعددة من ε أو الأجل، وافحص استقرار الميول عند المعدل المتوقع

قارن بأسعار مونت كارلو أو التحويل أو PDE حيثما أمكن، بما في ذلك المنطقة القريبة من الحد بين الأحداث المركزية والنادرة

سجل القياس والمقياس الاحتمالي ومتغير الحالة ومجال دالة المعدل ومعالجة العامل السابق وفحوص المراجحة مع كل تنفيذ