Hồi quy Mincer–Zarnowitz: Kiểm định độ chệch và hiệu chỉnh dự báo

Hãy giả sử một mô hình chiến lược dự báo lợi suất kỳ tới hoặc một nhà kinh tế dự báo tăng trưởng quý sau. Sai số dự báo có thể có trung bình bằng không trong mẫu đánh giá. Đây là dấu hiệu hữu ích để xem xét liệu dự báo có thường xuyên quá cao hoặc quá thấp hay không, nhưng không cho thấy các dự báo biến động một-một với kết quả về sau. Dự báo có thể quá cực đoan, quá co hẹp hoặc bị dịch chuyển tuyến tính; sai số dương và âm vẫn có thể triệt tiêu nhau.

Hồi quy MZ làm rõ câu hỏi thứ hai bằng cách hồi quy kết quả thực tế theo dự báo. Mincer và Zarnowitz đưa ra khuôn khổ này khi đánh giá dự báo kinh tế (chương năm 1969). Đây là phép chẩn đoán cho dự báo điểm của một mục tiêu dạng số, đặc biệt là dự báo trung bình có điều kiện theo hàm mất mát bình phương. Phép kiểm định này không so sánh mô hình nào trong hai mô hình có tổn thất trung bình thấp hơn; câu hỏi riêng đó được trình bày trong hướng dẫn Diebold–Mariano.

Sự khác biệt này cũng quan trọng trong nghiên cứu giao dịch. Dự báo lợi suất có thể ít độ chệch trung bình nhưng sai thang đo; dự báo biến động có thể thường xuyên quá cao ở một vùng và quá thấp ở vùng khác. Hồi quy có thể phát hiện sai lệch tuyến tính, nhưng kết quả phụ thuộc vào mẫu đánh giá, định nghĩa mục tiêu, thời điểm thông tin sẵn có và phương pháp suy luận. Bản thân phép kiểm định không cho thấy có thể biến dự báo thành quy tắc giao dịch sinh lời.

Với mỗi thời điểm phát hành (t), ghép dự báo (f_{t+h\mid t}) với giá trị mục tiêu thực tế về sau (y_{t+h}) mà dự báo được tạo ra để dự đoán ở chân trời cố định (h). Để phương trình gọn hơn, các quan sát đã ghép được ký hiệu là ((f_t,y_t)); chỉ số dưới này đánh dấu từng cặp, dù dự báo được tạo tại một mốc thông tin sớm hơn. Hai giá trị phải cùng biến, chân trời, đơn vị đo và quy ước thời gian. Nếu dự báo lợi suất năm ngày nhưng ghép với lợi suất một ngày, hồi quy không còn hỏi liệu dự báo có được hiệu chỉnh cho mục tiêu ban đầu hay không.

Hãy dùng các dự báo thực sự có sẵn tại từng thời điểm phát hành. Lưu lại giá trị dự báo, phiên bản mô hình, phiên bản dữ liệu và mốc thông tin. Số liệu kinh tế vĩ mô công bố lần đầu có thể được sửa đổi sau đó; hãy quyết định đánh giá hiệu chỉnh theo bản công bố đầu tiên hay giá trị hoàn tất về sau, rồi giữ nhất quán lựa chọn đó. Thay dữ liệu lịch sử bằng phiên bản đã sửa đổi có thể đưa vào đánh giá thông tin mà người dự báo ban đầu không thể biết.

Với chuỗi giao dịch, hãy ghép nhất quán các thành phần lợi suất từ đóng cửa đến đóng cửa, trong ngày và qua đêm. Mục tiêu nhiều kỳ chồng lấn cũng làm các sai số dự báo liền kề phụ thuộc nhau. Mẫu đánh giá chung rất quan trọng: nếu một mô hình thiếu dự báo đúng vào những ngày biến động mạnh, khác biệt về tập ngày có thể trông giống vấn đề hiệu chỉnh. Dùng cùng mục tiêu và lịch thời điểm phát hành cho các chuỗi dự báo được đánh giá.

Phân biệt dự báo được tạo ra với giá trị khớp từ mô hình. Nếu mô hình được ước lượng bằng chính các quan sát dùng trong hồi quy MZ, việc khớp trong mẫu có thể khiến dự báo trông như đã hiệu chỉnh. Muốn kết luận về dự báo tương lai, hãy tạo chuỗi dự báo ngoài mẫu theo trình tự thời gian, chỉ ước lượng lại bằng thông tin sẵn có tại từng thời điểm phát hành và giữ riêng giai đoạn xác nhận cuối cùng, không dùng giai đoạn đó để chọn mô hình hoặc ngưỡng.

Hồi quy mức chuẩn có dạng

yₜ = α + β fₜ + uₜ

Trong đó (yₜ) là mục tiêu thực tế, (fₜ) là dự báo và (uₜ) là phần dư hồi quy. Ràng buộc hiệu chỉnh đồng thời thường dùng là

H₀: α = 0 và β = 1

Nếu cả hai ràng buộc đúng, quan hệ tuyến tính khớp giữa kết quả và dự báo là đường đồng nhất. Không cần độ lệch cố định và mức tăng một đơn vị của dự báo tương ứng với mức tăng một đơn vị của kết quả khớp. Ước lượng hồi quy, sau đó kiểm định đồng thời hai ràng buộc bằng Wald hoặc kiểm định F tương đương, với ước lượng hiệp phương sai phù hợp thiết kế lấy mẫu. Kiểm định riêng hệ số chặn và hệ số góc không giống với kiểm định ràng buộc đồng thời.

Phần dư hồi quy (uₜ) không mặc nhiên bằng sai số dự báo thô (yₜ − fₜ). Hai đại lượng này bằng nhau dưới giả thuyết không đồng thời, nhưng khi giả thuyết không đúng, hệ số chặn và hệ số góc ước lượng hấp thụ dịch chuyển và thay đổi thang đo tuyến tính. Hãy báo cáo cả sai số dự báo thô cùng các hệ số để người đọc thấy được cả sai lệch trung bình lẫn quan hệ hiệu chỉnh.

Ràng buộc MZ đôi khi được gọi là kiểm định tính không chệch hoặc tính hợp lý của dự báo. Cần nói rõ định nghĩa đang dùng. Sai số trung bình vô điều kiện bằng không là điều kiện (E[yₜ − fₜ] = 0); các ràng buộc ((α = 0, β = 1)) áp đặt một quan hệ tuyến tính cụ thể và thường mạnh hơn. Holden và Peel cho thấy ràng buộc đồng thời thông thường là điều kiện đủ nhưng không cần thiết để dự báo không chệch theo cách hình thức hóa của họ (1990). Đừng dùng “không chệch” và “được hiệu chỉnh theo MZ” như từ đồng nghĩa nếu chưa nêu ràng buộc được kiểm định.

<!-- learn:illustration -->

Xét ba dự báo giả định và kết quả thực tế về sau:

Dự báo trung bình là 2, kết quả trung bình cũng là 2 và sai số dự báo trung bình bằng không. Tuy nhiên, các giá trị tuân theo (yₜ = 1 + 0.5 fₜ), nên hồi quy MZ có hệ số chặn (α = 1) và hệ số góc (β = 0.5), chứ không phải ((0,1)). Sai số triệt tiêu nhau khi lấy trung bình dù ràng buộc hiệu chỉnh tuyến tính thất bại: trong ví dụ dựng sẵn này, giá trị thực tế chỉ biến động bằng một nửa mức thay đổi của dự báo.

Đây là minh họa số học được dựng để giải thích, không phải dữ liệu thị trường hay mẫu dùng để suy luận. Ba điểm không nhiễu không thể tạo ra p-value có ý nghĩa hoặc cơ sở để tuyên bố hệ thống dự báo thực tế thất bại. Trong mẫu thực, kiểm định đồng thời tính đến bất định ước lượng; độ lệch hệ số lớn có thể vẫn ước lượng thiếu chính xác, trong khi độ lệch nhỏ có thể được ước lượng chính xác khi có đủ quan sát. Ví dụ chỉ cho thấy sai số trung bình và ràng buộc MZ trả lời hai câu hỏi khác nhau.

Một phép hiệu chỉnh lại như (1 + 0.5 fₜ) sẽ khớp chính xác ba kết quả này vì nó được dựng từ chúng. Điều đó không chứng minh nó sẽ hoạt động về sau. Nếu hiệu chỉnh lại là một phần của quy trình dự báo, hãy ước lượng hệ số trên một đoạn huấn luyện trước đó và đánh giá dự báo đã điều chỉnh trên dữ liệu về sau không dùng để xác định các hệ số ấy.

Hệ số chặn (α) là kết quả khớp tại mức dự báo bằng không, nên ý nghĩa thực tiễn phụ thuộc vào việc số không có nằm trong hoặc gần phạm vi dự báo hay không. Hệ số góc (β) cho biết kết quả khớp thay đổi mạnh đến đâu theo dự báo. Khi đã tính hệ số chặn, hệ số góc nhỏ hơn một nghĩa là dự báo thay đổi nhiều hơn kết quả khớp; hệ số góc lớn hơn một nghĩa là kết quả khớp thay đổi nhiều hơn. Nếu hệ số còn lại cũng không bị ràng buộc, riêng một hệ số không mô tả đầy đủ quan hệ.

R bình phương (R²) cao không chứng minh hiệu chỉnh tốt. Chẳng hạn, quan hệ không nhiễu (yₜ = 2 + 1.1 fₜ) có (R² = 1), nhưng hệ số chặn và hệ số góc không thỏa giả thuyết không MZ. (R²) tóm tắt tỷ lệ biến thiên được đường hồi quy tuyến tính giải thích; kiểm định đồng thời hỏi đường đó có phải đường đồng nhất hay không. Ngược lại, dự báo nhiễu có thể có (R²) thấp dù không bác bỏ ràng buộc đồng thời. Hiệu chỉnh và độ chính xác có liên quan nhưng là hai đặc tính khác nhau.

Đừng suy ra kết quả hiệu chỉnh chỉ từ hai thống kê t riêng lẻ. Các ước lượng hệ số chặn và hệ số góc có thể tương quan, nên thống kê Wald/F đồng thời dùng đến hiệp phương sai giữa chúng. Hãy báo cáo (α), (β), độ bất định của chúng, thống kê đồng thời và p-value, cỡ mẫu và sai số thô trung bình. Khi hữu ích, có thể trình bày biểu đồ phân tán hoặc so sánh theo nhóm cùng đường đồng nhất; nếu chọn nhóm sau khi xem dữ liệu, hãy nói rõ. Kiểm định tuyến tính có thể bỏ sót sai lệch hiệu chỉnh dạng cong, thay đổi chế độ hoặc sai số riêng ở phần đuôi.

Với hàm mất mát bình phương, dự báo điểm tối ưu là kỳ vọng có điều kiện của mục tiêu theo tập thông tin mà người dự báo có. Điều đó hàm ý thông tin đã có tại thời điểm dự báo không thể dùng để dự đoán các sai số về sau. Hồi quy MZ chỉ kiểm tra quan hệ tuyến tính gồm hằng số và chính dự báo; nó không tự động kiểm tra mọi biến khác trong tập thông tin.

Một phép chẩn đoán mạnh hơn có thể đưa các biến thông tin (zₜ) được xác định trước vào hồi quy sai số dự báo, chẳng hạn

yₜ − fₜ = δ₀ + δ₁ zₜ + vₜ

Nếu một biến đã biết tại thời điểm dự báo dự đoán được sai số về sau, người dự báo có thể đã bỏ sót thông tin hữu ích. Cần căn chỉnh thời điểm của biến cho chính xác và chọn chúng cẩn thận; thử nhiều độ trễ, trạng thái thị trường và phép biến đổi sẽ tạo thêm vấn đề tìm kiếm nhiều lần. Không phát hiện khả năng dự đoán trong một danh sách ngắn không chứng minh hiệu quả đối với toàn bộ tập thông tin.

Zarnowitz xem xét độ chệch, tự tương quan, cỡ mẫu và công suất kiểm định trong đánh giá dự báo khảo sát (NBER Working Paper 1070, 1983). Vì vậy, hãy mô tả MZ là phép chẩn đoán hiệu chỉnh tuyến tính hoặc kiểm tra hiệu quả dự báo có giới hạn, không phải bằng chứng người dự báo dùng tối ưu mọi thông tin liên quan. Hướng dẫn Giacomini–White bàn về một phép so sánh có điều kiện khác dựa trên các moment tổn thất được chọn.

Sai số dự báo có thể dị phương sai, tự tương quan hoặc chồng lấn, nhất là với dự báo cuốn chiếu nhiều bước. Công thức hệ số OLS thông thường tự nó không đảm bảo sai số chuẩn hợp lệ cho ràng buộc đồng thời. Hãy dùng và báo cáo phương pháp suy luận phù hợp với chân trời, cấu trúc phụ thuộc và sơ đồ ước lượng. Không có một băng thông hay hiệu chỉnh tự động duy nhất phù hợp mọi thiết kế.

Dự báo được ước lượng tạo thêm phức tạp. Nếu cùng một mẫu ngắn được dùng để ước lượng tham số mô hình, xây dựng điều chỉnh hiệu chỉnh và kiểm định điều chỉnh đó, bất định hồi quy thông thường có thể không phản ánh toàn bộ quy trình. Phân phối không trong các so sánh độ chính xác của dự báo lồng nhau cũng có thể không theo dạng chuẩn. Hãy dùng kết quả được suy ra cho đúng quy trình tạo dự báo, hoặc xác định đầy đủ bước hiệu chỉnh rồi đánh giá trên tập giữ lại về sau. Đừng thử nhiều dạng hồi quy, mục tiêu và mẫu rồi coi p-value cuối cùng như kết quả xác nhận.

Không bác bỏ không chứng minh dự báo đã hiệu chỉnh; nguyên nhân có thể là công suất thấp hoặc khoảng tin cậy rộng. Bác bỏ cũng có điều kiện theo mục tiêu, mẫu, dạng tuyến tính và ước lượng hiệp phương sai. Hãy kiểm tra độ nhạy với các lựa chọn đánh giá hợp lý, công khai các kiểm tra đó và phân biệt chúng với phép kiểm định định trước. Điều này đặc biệt quan trọng khi dự báo có tính bền vững cao hoặc mẫu chỉ có vài giai đoạn độc lập.

MZ kiểm định ràng buộc hiệu chỉnh tuyến tính giữa dự báo và mục tiêu thực tế. Kiểm định Diebold–Mariano lại hỏi liệu hai quy trình dự báo có cùng tổn thất trung bình theo một thước đo đã chọn hay không. Một dự báo có thể hiệu chỉnh tốt nhưng kém chính xác hơn theo thước đo đó; hoặc chính xác hơn trung bình nhưng không đạt ràng buộc hiệu chỉnh MZ.

Nếu câu hỏi là độ chính xác có thay đổi theo thông tin biết tại thời điểm dự báo hay không, kiểm định Giacomini–White đánh giá các moment tổn thất có điều kiện được chọn. Nếu đã tìm kiếm nhiều dự báo hay quy tắc giao dịch và muốn đánh giá cả nhóm ứng viên, thủ tục cấp nhóm như Model Confidence Set hoặc White Reality Check/Hansen SPA giải quyết một bài toán lựa chọn khác. Không phương pháp nào thay thế việc xác định rõ mục tiêu và thời điểm phát hành dự báo một cách trung thực.

Hồi quy mức MZ chuẩn dành cho dự báo điểm của mục tiêu số. Dự báo phân vị, xác suất, khoảng và mật độ cần các phép kiểm định hiệu chỉnh và quy tắc chấm điểm phù hợp với đối tượng dự báo đó. Không nên suy rộng kết quả tốt cho dự báo trung bình sang dự báo rủi ro đuôi hoặc phân phối biến động nếu không có lập luận riêng.

Nêu mục tiêu, chân trời, đơn vị, mốc thông tin, ngày đánh giá, phiên bản dữ liệu và dự báo có thực sự ngoài mẫu hay không. Ghi chính xác phương trình hồi quy, định nghĩa sai số dự báo và các ràng buộc được kiểm định. Làm rõ “không chệch” nghĩa là sai số trung bình bằng không hay ràng buộc MZ đồng thời ((α = 0, β = 1)).

Báo cáo ước lượng hệ số, sai số chuẩn hoặc khoảng tin cậy, thống kê Wald/F đồng thời, bậc tự do, p-value, số thời điểm phát hành, sai số thô trung bình và (R²) kèm giới hạn diễn giải. Giải thích phương pháp hiệp phương sai hoặc lấy mẫu lại, đặc biệt nếu các chân trời chồng lấn hoặc sai số phụ thuộc theo thời gian. Công khai việc ước lượng mô hình, hiệu chỉnh lại, lựa chọn, cùng các mục tiêu, mẫu hay phép biến đổi thay thế đã thử.

Báo cáo minh bạch giúp người đọc phân biệt độ chệch trung bình, hiệu chỉnh tuyến tính, hiệu quả thông tin và độ chính xác so sánh. Đây là các khẳng định thực nghiệm riêng biệt. Đạt một ràng buộc hồi quy không xác nhận mọi cách sử dụng dự báo; bản thân đánh giá dự báo cũng không chứng minh khả năng sinh lời sau chi phí giao dịch.