Almgren–Chriss 最佳執行：平衡市場衝擊與價格風險

一次買進或賣出大量資產，可能超過當下可用的流動性。積極執行會消耗委託簿上看得到的深度，讓後續部分只能以較不利的價格成交。若把交易分散到數小時內，市場價格又有時間在訂單完成前變動。買單遇到價格上漲時，未買到的部分會變貴；賣單遇到價格下跌時也有類似問題。

這是執行問題，不是判斷市場方向的問題。模型將預先決定的交易量安排在開始時間與期限之間，同時考慮訂單造成的價格衝擊，以及等待期間的市場風險。

令 X 為需要執行的數量，T 為可用時間，x(t) 為 t 時刻尚未執行的數量。開始時 x(0)=X；若要在期限內完成，則 x(T)=0。令 v(t) 表示執行速度，剩餘量的關係式為：

v(t) = −dx(t)/dt

因此，v(t) 為正代表剩餘量正在減少。單位可以是同一資產的股票、合約或其他一致數量。買進與賣出都以絕對數量表示，交易方向則另外決定現金流的正負。

連續時間的寫法方便推導，但實際執行通常由多筆子訂單和部分成交組成。因此，模型中的速度描述平均計畫，不保證每個時點都會有確定的成交量。

暫時衝擊是目前的大額訂單跨越買賣價差或消耗流動性，導致成交價格較不利。它通常影響正在成交的數量，並可能在訂單流減弱後消退。在係數為 η 的線性模型中，交易速度越快，每單位的暫時衝擊越大。

永久衝擊是在所採用模型中，交易結束後仍保留的基礎價格變化。它也可能影響尚未完成部位的價值。Almgren–Chriss 在計算預期成本時分開處理兩種衝擊。在最簡單的線性永久衝擊假設下，連續時間近似中的永久衝擊總貢獻可能不受交易時間分布影響；暫時衝擊和剩餘量風險則決定曲線的彎曲程度。

Almgren 與 Chriss 關於投資組合交易最佳執行的原始論文，將這些概念放入一個在指定不確定性水準下降低交易成本的框架。衝擊係數是模型參數，並非適用於所有資產和市場狀況的通用常數。

即使模型沒有假設交易者能預測價格方向，執行結果仍存在不確定性。只要還有未買進或未賣出的數量，該部分價值就會隨市場價格變動。x(t) 越大、持續時間越長，最終執行成本的變異數就可能越高。

單一資產的基本模型把價格視為波動率為 σ 的隨機過程。若 C 代表執行成本，模型可以用目標函數權衡預期成本 E[C] 與變異數 Var(C)，例如：

E[C] + λ Var(C)

這是從有效邊界選擇折衷點的一種方式。λ 表示成本變異數對所選執行曲線的影響程度。參數單位必須一致；沒有適用於所有市場的 λ 對照表，也不能單憑過去一次執行結果直接推算 λ。

在連續時間、平方風險和線性暫時衝擊假設下，最佳剩餘量軌跡為：

x(t) = X × sinh(κ(T − t)) / sinh(κT)

其中：

κ² = λσ²/η

σ 是價格波動率，η 是暫時衝擊係數，κ 則決定曲線的急迫程度，單位是時間的倒數。κ²=λσ²/η 對應目標函數 E[C]+λVar(C) 的寫法；若改變時間單位或風險懲罰的標準化方式，λ 的數值也會改變。Almgren–Chriss 原始模型推導出這個形式；若採用有限的離散時間間隔，公式會有一項小幅修正，並在連續時間極限下消失。

當 λ 趨近於零，κ 也趨近於零，雙曲正弦的比值會趨近直線 x(t)=X(1−t/T)，也就是類似線性 TWAP 的均勻執行。λ 越高，模型對價格不確定性的懲罰越大，剩餘量會在初期更快下降，更多訂單會提早執行。代價是模型可能接受較高的預期衝擊成本，以降低結果的變異數。

基本版本會用固定參數事先計算曲線。執行開始後，它不會依新價格、訂單流或委託簿流動性自行調整。

假設需要在 60 分鐘內執行 1,000 股。為了說明曲線形狀，令無因次參數 κT=2。這個數值只決定曲線形狀，不代表實際波動率、衝擊係數或風險偏好。

15 分鐘後 t/T=0.25，剩餘比例為 sinh(1.5)/sinh(2) ≈ 0.587，即約剩 587 股。30 分鐘後，剩餘比例為 sinh(1)/sinh(2) ≈ 0.324，即約剩 324 股；45 分鐘後，sinh(0.5)/sinh(2) ≈ 0.144，即約剩 144 股。所有數字均四捨五入至最接近的整股。

線性 TWAP 計畫在 15、30 和 45 分鐘後會分別剩下約 750、500 和 250 股。κT=2 的曲線會把更多交易量安排在前段。這些只是經過取整的假設模型結果，並非價格預測、交易成本估算或執行速度建議。

不同 λ 會產生不同的預期成本和變異數組合。預期成本較低的曲線，可能讓更多剩餘量較長時間暴露於市場風險；降低結果不確定性的曲線，則可能較早執行更多數量並承擔較高衝擊成本。這些無法在不讓另一項指標變差的情況下繼續改善的選擇，構成有效邊界。

Bertsimas 與 Lo 關於執行成本最佳控制的研究，探討如何依據預期交易成本選擇動態策略。Almgren–Chriss 明確加入成本不確定性的衡量方法，讓風險偏好可以比較。不過，λ 不是個人風險性格的分類；實際可接受的風險、期限和未完成部位的影響，取決於交易目標。

經典解假設單一資產、較短期限、已知的起始和結束數量、固定的流動性與衝擊係數，以及沒有 alpha 訊號或可預測價格漂移的簡化價格過程。基本曲線是靜態、預先設定的 open-loop 計畫：開始執行後不會因新價格或委託簿流動性而重新計算。線性衝擊也未必能準確描述真實市場，尤其是在流動性改變或母單占市場成交量很大時。

Gatheral 關於市場衝擊與無動態套利的研究，說明建立一致策略時為何需要限制衝擊模型。若永久衝擊或衝擊衰減的假設不符合市場，計算出的曲線就可能無法代表實際成本。手續費、參與率上限、交易單位、滑價、多個資產和未完成數量，也都需要另外建模或衡量。

先確認資產與交易方向、如何定義期限、X 和 σ 使用什麼單位，以及波動率以哪個期間估算。接著查明 η 的估計方法、是否包含價差與費用、是否容許未完全成交，以及計畫會不會在執行中更新。如果同一個詞指的是不同期限或單位，就不應直接比較參數。

最後要將執行計畫與結果評估分開。VWAP 與 TWAP 時程依預期市場成交量或時間平均分配交易；Almgren–Chriss 則在指定模型中選擇成本與變異數之間的折衷。Implementation shortfall依投資決策衡量結果，也可能納入未成交數量。這些方法都不能單獨證明所選時程造成價格變動或必定帶來較佳報酬。