Мост Броуновского движения для ценообразования барьерных опционов: объяснение
Узнайте, как мост Броуновского движения оценивает пропущенные пересечения барьера между датами Монте-Карло и почему одни лишь конечные точки могут смещать цены на опционы с непрерывным мониторингом
Короткий ответ
Мост Броуновского движения условиявает непрерывный диффузионный путь на его смоделированных конечных точках. При ценообразовании барьерных опционов методом Монте-Карло он оценивает вероятность того, что путь пересёк барьер между двумя датами, уменьшая смещение, возникающее при дискретной обработке выборок как при непрерывном мониторинге
Конечные точки не раскрывают каждое пересечение
Предположим, что смоделированная цена находится ниже восходящего барьера как в начале, так и в конце однодневного интервала. Непрерывный путь при этом всё равно может пересечь барьер и вернуться ниже него
Проверка только дневных или почасовых конечных точек поэтому склонна пропускать события касания барьера ("knock-out" или "knock-in"), когда контракт контролируется непрерывно
Большее количество временных шагов уменьшает эту ошибку, но может быть затратным и всё равно оставлять остаточное смещение мониторинга
Мост восполняет условную неопределённость пути
Для броуновского движения, условное распределение на двух значениях конечных точек даёт промежуточное распределение, среднее значение которого следует по прямой между ними
Его дисперсия равна нулю на обоих концах и максимальна внутри интервала. Эта условная флуктуация и есть мост Броуновского движения
После преобразования диффузии в подходящую форму логарифма цены та же идея даёт вероятность пересечения интервала при заявленной модели
Интервал вблизи барьера требует больше, чем одна оценка
Представьте восходящий уровень "up-and-out" равный 110, со смоделированными ценами конечных точек 104 и 106 за короткий интервал
Ни одна из конечных точек не инициирует барьер. Корректировка мостом всё равно назначает положительную вероятность пересечения, потому что ненаблюдаемый путь может подняться выше 110 и вернуться
Вероятность зависит от расстояния до барьера, длины интервала и смоделированной дисперсии. Её не следует заменять фиксированным процентом > [!TRYMARK] Разделите мониторинг от целевой цены Перед датой истечения или события сохраните в TryMark барьер, уровень акции, допущение по подразумеваемой волатильности, целевое значение и правило мониторинга. Целевая величина, основанная на проверках в конце дня, может существенно отличаться от контракта, мониторингового непрерывно
Монте-Карло может использовать весовые коэффициенты или условные отборы
Один метод умножает дисконтированную выплату каждого пути на его интервальные вероятности выживания. Другий выбирает выборки о том, произошло ли пересечение, используя вероятности моста
Взвешивание часто снижает дисперсию, поскольку избегает дополнительного бинарного отбора, в то время как условная выборка может быть полезна, когда само время пересечения влияет на денежные потоки
Оба метода должны использовать фактическую конвенцию наблюдения контракта. Некоторые листинговые продукты мониторятся только в указанные моменты времени, а не непрерывно
Мост — это модельная коррекция, а не рыночная определённость
Стандартная формула предполагает непрерывную диффузию с выбранной волатильностью, процентными ставками и дивидендными входами на интервале
Скачки могут пересечь барьер таким образом, что непрерывный мост недооценивает их. Стохастическая волатильность, локальная волатильность, дискретные дивиденды и лимиты цен также изменяют модель
Проверяйте расчёты на более мелкой сетке, оценивайте чувствительность расстояния до барьера и волатильности, а также отделяйте условия юридического контракта от удобного приближения симуляции
Частые вопросы
Зачем нужен мост Броуновского движения для барьерных опционов?
Он оценивает, было ли пересечение непрерывно контролируемого барьера между смоделированными датами, где симуляция только по конечным точкам может пропустить это событие
Сделает ли мост Броуновского движения симуляцию барьера точной?
Он точен только для заявленной непрерывной диффузионной настройки и конвенции мониторинга. Скачки, изменяющаяся волатильность и детали контракта могут потребовать другой модели
Стоит ли просто добавить больше временных шагов Монте-Карло?
Более тонкие шаги помогают, но мост может устранить большую часть смещения между шагами более эффективно. Всё равно стоит сравнить оба подхода в качестве численной проверки