Блочный бутстрэп: доверительные интервалы доходности торговой стратегии

Задайте показатель для заранее определённой стратегии: например, среднюю недельную избыточную доходность или коэффициент Шарпа, рассчитанный для той же частоты и периода. Для избыточной доходности заранее определите её формулу — например, недельная доходность стратегии минус безрисковая доходность за ту же неделю.

Также зафиксируйте период, частоту данных, учёт издержек, безрисковую ставку и формулу показателя. Бутстрэп не выбирает новую стратегию и не проверяет заново, была ли она удачной. Он показывает, как могла бы меняться оценка при повторной выборке из заданного ряда и неизменной процедуре расчёта.

Обычный IID-бутстрэп случайно выбирает отдельные наблюдения с возвращением. Тогда соседние недели, связанные одним рыночным режимом, серией убытков или кластером волатильности, разносятся по разным местам. Метод обращается с зависимыми наблюдениями так, словно их можно считать независимыми.

В результате распределение выборки для среднего или коэффициента Шарпа может не отражать исходную зависимость. В блочном бутстрэпе вместе выбирают последовательные отрезки и сохраняют исходный порядок внутри них. На стыке двух выбранных отрезков исходная непрерывность всё же прерывается.

В скользящем блочном бутстрэпе задают фиксированную длину блока ℓ. Для ряда x₁,…,xₙ возможные блоки длины ℓ начинаются с первого наблюдения, со второго и далее; порядок значений внутри каждого блока сохраняется. Блоки с возвращением выбирают из этого набора и соединяют. Сами блоки могут перекрываться.

Стационарный бутстрэп использует блоки случайной длины с геометрическим распределением. Если задана средняя длина ℓ, то в упрощённом описании новую случайную начальную точку выбирают в среднем раз в ℓ наблюдений, а между такими точками продолжают ряд последовательно. Кюнш (1989) рассматривал блочную повторную выборку для стационарных наблюдений; Политис и Романо (1994) предложили стационарный бутстрэп со случайными геометрическими длинами блоков.

Ни один из методов не воспроизводит любую возможную временную структуру. На результат влияют длина блоков, обработка границ и размер исходной выборки.

Только для иллюстрации представим недельную доходность: +1%, −2%, +3% и 0% от первой недели к четвёртой. При длине блока 2 скользящие варианты — «+1%, −2%», «−2%, +3%» и «+3%, 0%».

Если с возвращением выбрать сначала первый, затем третий блок, получится ряд «+1%, −2%, +3%, 0%». Другая выборка может дважды соединить блок «−2%, +3%». Если длина соединённого ряда превысит исходные четыре недели, лишние наблюдения отбрасывают, чтобы каждый репликат имел ту же длину.

Четырёх наблюдений недостаточно для надёжного доверительного интервала. Это игрушечный пример того, как вместе выбираются последовательные значения; он не свидетельствует о доходности стратегии и не рекомендует такую длину блока.

В реальном анализе блоки выбирают с возвращением, соединяют и повторяют процедуру до исходного числа наблюдений n. Это делают много раз и в каждом полученном ряду заново вычисляют тот же заранее заданный показатель. Для средней избыточной доходности считают среднее; для коэффициента Шарпа используют ту же исходную формулу среднего и стандартного отклонения.

По распределению полученных оценок строят доверительный интервал. Например, в процентильном подходе его границы — заданные нижний и верхний процентили значений по репликатам. Возможны и другие варианты, включая студентизированный интервал, поэтому следует указать метод, уровень доверия, число повторов, тип блочного бутстрэпа и длину блока.

Широкий интервал может указывать на короткую выборку, сильную зависимость или нестабильность показателя. Увеличение числа повторов уменьшает лишь вычислительную ошибку Монте-Карло; новых рыночных наблюдений оно не добавляет.

Чтобы оценить разницу коэффициентов Шарпа стратегий A и B, не повторно выбирайте каждую стратегию отдельно. Блоки нужно выбирать совместно, сохраняя пары доходностей A и B за одни и те же недели и их временной порядок. Так в репликатах сохраняются общие рыночные шоки и совместные колебания стратегий.

В каждом репликате рассчитайте обе величины одинаковым способом и сохраните разницу SR_A−SR_B. Если доверительный интервал этой разницы включает ноль, это означает, что при заданном уровне доверия недостаточно свидетельств считать разницу отличной от нуля. Это не доказывает равенство истинных коэффициентов.

Ледуа и Вольф рассматривают сравнение коэффициентов Шарпа при тяжёлых хвостах и временной зависимости доходностей, в том числе студентизированный доверительный интервал на основе временного бутстрэпа. Их статья полезна, когда сравнение стратегии не сводится к формуле для независимых выборок.

Слишком короткие блоки могут терять более длительную зависимость, например устойчивые кластеры волатильности или последовательности прибылей и убытков. Слишком длинные блоки дают меньше эффективно различных комбинаций в выборке, поэтому репликаты становятся менее разнообразными. Универсальной длины нет.

Заранее зафиксируйте выбранную длину и обоснование, затем проверьте разумные соседние значения. На вывод также могут влиять выбор скользящего или стационарного бутстрэпа, метрика и способ построения интервала. Не следует перебирать настройки и оставлять только удобный интервал; область сравнения нужно документировать.

Стандартные ошибки HAC, например Ньюи—Уэста, меняют оценку ковариации коэффициентов регрессии, чтобы проводить выводы о коэффициентах при определённых видах зависимости. Блочный бутстрэп повторно выбирает временные отрезки и приближает распределение заданного показателя, например среднего дохода или Шарпа. Бутстрэп можно применять и к регрессии, но это другая конструкция, а не та же процедура. См. также руководство о робастных стандартных ошибках.

Годовое масштабирование Шарпа отвечает на вопрос, как временная агрегация и автокорреляция влияют на пересчёт показателя. Доверительный интервал бутстрэпа оценивает выборочную неопределённость; это другая задача, чем годовой пересчёт Шарпа при серийной зависимости. Purged cross-validation относится к разбиению обучающих и тестовых данных и перекрывающимся целевым меткам, а не к доверительному интервалу для доходности фиксированной стратегии.

Блочная повторная выборка опирается, среди прочего, на стационарность и достаточно слабую зависимость. Если в выборке есть структурный сдвиг или смена режима, повторная выборка как будто из одного устойчивого процесса может ввести в заблуждение. Метод также не исправляет выбор лучшей стратегии после множества попыток, утечку данных, нереалистичные издержки и допущения о сделках. Интервал условен на наблюдавшемся процессе и заранее заданном анализе; он не прогнозирует и не гарантирует будущую прибыль или убыток и не является персональной рекомендацией.

Число повторов B показывает, сколько рядов создают из исходной выборки. Большее B уменьшает шум Монте-Карло при оценке квантилей и концов доверительного интервала: они меньше зависят от случайного запуска. Если границы заметно меняются между запусками, повторов может не хватать.

Но репликаты — расчётные выборки из тех же наблюдений, а не новые недели рынка или независимые режимы. B не восполнит короткую или выбранную по результатам выборку и не исправит нестационарность либо структурный сдвиг. Увеличивая B, фиксируйте показатель, исходный ряд и схему: метод и длину блоков, обработку границ и способ построения интервала. Другие схемы показывайте отдельно как анализ чувствительности. Не подбирайте их ради желаемых границ: число репликатов не равно числу независимых рыночных наблюдений.