Bootstrap em blocos e intervalos de confiança para estratégias de trading

O retorno médio histórico ou o índice de Sharpe é uma estimativa calculada a partir de uma amostra finita. Um intervalo de confiança indica quais valores são compatíveis com os dados segundo o método e o nível nominal escolhidos. Ele não torna uma série curta ou muito dependente mais informativa.

Defina a estatística antes de examinar o resultado. Pode ser a média dos retornos excedentes por período ou um índice de Sharpe calculado sobre esses mesmos períodos. Informe a frequência, a taxa livre de risco, se os retornos são brutos ou líquidos de custos e a fórmula exata. Para o Sharpe, recalcule a média e o desvio-padrão em cada réplica usando a mesma convenção.

Essa pergunta é diferente de três tarefas relacionadas. Erros-padrão HAC estimam a incerteza de um coeficiente de regressão sob um modelo de dependência escolhido. A anualização do Sharpe agrega uma estatística ao longo do tempo e, por si só, não produz um intervalo de confiança. A validação cruzada purgada avalia modelos preditivos quando os períodos dos rótulos se sobrepõem. Aqui, o bootstrap reamostra a série de retornos observada para estudar a variação de uma estatística definida previamente.

O bootstrap i.i.d. convencional sorteia cada observação de forma independente e com reposição. A ordem temporal desaparece: na série sintética, uma semana tranquila pode ser seguida por qualquer semana de estresse. Também se perdem fases persistentes de retorno ou volatilidade e a dependência entre semanas vizinhas.

Isso importa quando retornos financeiros apresentam autocorrelação, agrupamento de volatilidade, períodos de manutenção sobrepostos ou outras dependências temporais. Uma amostra i.i.d. pode então gerar uma distribuição simplificada demais de trajetórias artificiais. O bootstrap em blocos mantém a ordem original dentro de cada trecho sorteado, embora as junções entre trechos continuem artificiais.

O método não corrige uma série de retornos mal construída. Preços defasados ou suavizados, custos de financiamento omitidos, viés de sobrevivência e sinais desalinhados continuam sendo problemas dos dados ou da avaliação da estratégia.

O bootstrap de blocos móveis (moving-block bootstrap, MBB) usa um comprimento fixo L. De uma série com n observações, são formados blocos candidatos sobrepostos, cada um com L retornos consecutivos. Sorteiam-se blocos inteiros com reposição, eles são concatenados e o último é cortado para que a trajetória sintética volte a ter n observações.

O bootstrap estacionário também reamostra observações consecutivas, mas usa comprimentos de bloco aleatórios. Depois do início de um bloco, a sequência continua com probabilidade 1 − 1/L; com probabilidade 1/L, começa um novo bloco em um ponto inicial aleatório. O comprimento segue uma distribuição geométrica e tem como valor esperado o L escolhido. As fronteiras variam, enquanto L controla o comprimento médio da dependência que se busca preservar.

Os dois métodos exigem uma escolha de comprimento de bloco e de tratamento das extremidades. Não ajuste L depois de ver o intervalo até ele assumir a forma desejada. Künsch estuda a reamostragem de observações estacionárias; Politis e Romano apresentam o bootstrap estacionário com comprimentos geométricos.

Chamemos de r1, r2, r3 e r4 os quatro retornos semanais observados, nessa ordem. Com MBB e L = 2, os blocos sobrepostos possíveis são (r1, r2), (r2, r3) e (r3, r4). O exemplo ilustra apenas a regra de sorteio; não afirma nada sobre o desempenho de uma estratégia.

Uma trajetória sintética de quatro observações poderia concatenar o bloco sorteado (r2, r3) com (r1, r2). A ordem das duas semanas dentro de cada bloco é mantida. O salto de r3 para r1 é uma fronteira artificial entre blocos, não um movimento de mercado observado.

Em uma análise real, são geradas muitas trajetórias desse tipo e a mesma estatística definida previamente é recalculada para cada uma. Uma aplicação de verdade costuma exigir um histórico muito mais longo; aqui, quatro observações servem apenas para explicar o algoritmo.

Gere muitas trajetórias sintéticas com o mesmo comprimento. Para cada uma, recalcule o retorno excedente médio ou o índice de Sharpe definido. Isso produz uma distribuição bootstrap da estatística. Um intervalo percentil simples usa os quantis inferior e superior; intervalos BCa ou studentizados são outras opções, com premissas e decisões de cálculo próprias.

Informe o nível de confiança, o número de réplicas, o método de reamostragem, o comprimento do bloco, o tratamento das extremidades e o tipo de intervalo. Mais réplicas reduzem o ruído numérico do algoritmo, mas não aumentam o número de fases de mercado observadas de maneira independente.

Se um intervalo bilateral para o retorno excedente médio incluir zero, valores positivos, próximos de zero e possivelmente negativos continuam compatíveis com os dados e o método naquele nível nominal. Isso não prova que o retorno verdadeiro seja zero nem que duas estratégias sejam equivalentes. Significa que, com essa amostra e essas premissas, não há base para uma conclusão mais precisa.

Em uma comparação direta, os retornos de duas estratégias costumam ser pareados: ambos foram observados nas mesmas semanas de mercado. Em cada réplica, sorteie conjuntamente os mesmos blocos de tempo para as duas séries. Depois, calcule os dois índices de Sharpe e a diferença entre eles dentro daquela mesma réplica.

Sortear blocos separadamente para cada estratégia destrói a covariância entre os retornos nas mesmas datas e pode distorcer a incerteza da diferença. O sorteio conjunto preserva a estrutura temporal compartilhada que está nos dados observados. Ledoit e Wolf estudam intervalos de confiança por bootstrap para índices de Sharpe e diferenças entre eles com retornos dependentes.

Defina previamente se a comparação será de um Sharpe maior, de uma diferença ou de outra estatística. Use a mesma frequência dos retornos, o mesmo horizonte de avaliação e um tratamento coerente de taxas e financiamento. Se o intervalo da diferença entre Sharpes incluir zero, a amostra e o método não demonstram uma diferença clara; isso não prova igualdade.

Um bloco curto demais pode perder dependência de curto prazo e agrupamentos de volatilidade. Um bloco longo demais deixa menos combinações de blocos efetivamente distintas e pode produzir uma distribuição bootstrap imprecisa. Mostre, portanto, a sensibilidade a vários comprimentos plausíveis, justificados pela frequência dos dados e pela duração da dependência.

Os métodos usuais pressupõem uma distribuição dependente suficientemente estável e fracamente estacionária, ou condições de dependência que permitam justificativa assintótica. Uma quebra estrutural forte ou uma mudança de regime pode violar essas premissas. Reamostrar um histórico longo inteiro pode misturar fases que não vêm do mesmo processo. Quando necessário, analise períodos separados ou defina um desenho explícito por regime, em vez de chamar uma única estatística de robusta.

Verifique também se a geração de sinais, a escolha de parâmetros ou a seleção da estratégia usaram os mesmos dados. O intervalo de uma estratégia já selecionada não corrige automaticamente o data snooping nem os testes múltiplos. Seleção e avaliação preditiva exigem ferramentas adicionais, como um período cronológico reservado ou uma validação cruzada purgada adequada.

Documente a fonte e o período dos retornos, a frequência, a base bruta ou líquida, a taxa livre de risco, a definição do Sharpe, o método de reamostragem, o comprimento dos blocos e o tipo de intervalo. Mostre variações plausíveis de sensibilidade, o número de réplicas e, para várias estratégias, se os mesmos blocos foram sorteados de forma pareada. Apresente a estatística junto com drawdown, liquidez, custos e limitações dos dados.

Um intervalo calculado a partir de retornos históricos não é previsão nem garantia. Ele depende da série observada, da seleção da estratégia, das premissas de custo e do modelo de reamostragem. Não prevê o retorno da próxima semana e não substitui aconselhamento financeiro personalizado.

Para continuar: erros-padrão robustos e HAC tratam de coeficientes de regressão; Sharpe e correlação serial tratam da agregação temporal; validação cruzada purgada e embargo tratam da validação de modelos.

Fontes metodológicas: - Künsch (1989), The jackknife and the bootstrap for general stationary observations - Politis e Romano (1994), The stationary bootstrap - Ledoit e Wolf (2008), Robust performance hypothesis testing with the Sharpe ratio

Mais réplicas podem reduzir o ruído de Monte Carlo nos quantis estimados: mantendo iguais a amostra, a estatística e as regras de reamostragem, os limites do intervalo tendem a variar menos por causa do acaso do algoritmo. Mas as novas extrações não acrescentam observações de mercado independentes à série original. Elas não tornam representativa uma amostra curta, selecionada previamente ou não estacionária, nem corrigem esses problemas. Mantenha fixos a estatística, o método, o comprimento dos blocos e o tratamento das extremidades; as réplicas adicionais apenas refinam a aproximação numérica sob o mesmo desenho.