Il modello binomiale di valutazione delle opzioni spiegato

Si parte da un prezzo del sottostante S. Dopo un intervallo diventa Su nello stato rialzista o Sd nello stato ribassista, con u maggiore di d

L'opzione paga Cᵤ o C_d in questi stati. Una posizione nel sottostante più liquidità può essere scelta per replicare entrambi i payoff

Poiché il portafoglio replicante ha gli stessi payoff nei due stati, l'assenza di arbitraggio gli assegna lo stesso valore corrente dell'opzione

Il rapporto di copertura è la differenza tra i payoff divisa per la differenza tra i prezzi del sottostante: delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)

Dopo aver scelto delta, il payoff rimanente in ciascuno stato è fornito da un prestito o da un finanziamento. Attualizzare questa somma completa il valore corrente

Questa costruzione rende visibile l'economia: il prezzo deriva dalla replica stato per stato, non dal tentativo di indovinare quale ramo sia più probabile nella realtà

Lo stesso valore può essere scritto come una media ponderata attualizzata dei due valori futuri dell'opzione usando una probabilità neutrale al rischio q

Con un carry coerente, q viene scelta in modo che la crescita attesa ponderata del sottostante segua il tasso privo di rischio o il tasso forward. Non deve coincidere con la frequenza storica dei rialzi

Per l'assenza di arbitraggio, la crescita del sottostante dopo il carry deve trovarsi tra d e u, così q cade tra zero e uno. Un fallimento segnala input dell'albero incoerenti

Si ripete la costruzione a un passo su molti intervalli. In un albero ricombinante, un movimento al rialzo seguito da uno al ribasso raggiunge lo stesso nodo di un movimento al ribasso seguito da uno al rialzo

Dopo n passi ci sono n + 1 nodi di prezzo terminali invece di 2ⁿ nodi distinti, rendendo il calcolo pratico

La scelta di Cox–Ross–Rubinstein imposta comunemente u e d a partire da volatilità e durata del passo, con movimenti reciproci che fanno ricombinare l'albero

Per prima cosa si calcola il payoff contrattuale a ogni nodo terminale. Poi si torna indietro di un passo prendendo il valore neutrale al rischio attualizzato in ogni nodo padre

Si continua fino alla radice. Ogni numero intermedio è un valore condizionale del modello basato sugli stati raggiungibili da quel nodo

Dividendi, tassi, strutture a termine e volatilità variabile richiedono un trattamento coerente passo per passo, non una sola correzione alla fine

A ogni nodo idoneo si confronta il valore dell'esercizio immediato con il valore attualizzato della continuazione. Il valore americano è il maggiore dei due

Questa semplice operazione di massimo individua una regione di esercizio ed è un vantaggio importante rispetto alla formula chiusa europea di base di Black–Scholes

I risultati dell'esercizio restano dipendenti dal modello. Dividendi discreti, prestito titoli, regolamento e passi temporali possono spostare materialmente il confine stimato

Quando i passi diventano più fini secondo scelte adeguate, il prezzo binomiale può convergere verso il corrispondente modello a tempo continuo, come Black–Scholes

La convergenza può oscillare in base alla posizione dello strike rispetto ai nodi. Diverse parametrizzazioni dell'albero possono avere bias e stabilità differenti

Più passi riducono l'errore di discretizzazione interno al modello, ma non correggono volatilità errata, salti mancanti, dividendi sbagliati o quotazioni di mercato non eseguibili

Controlla i limiti di assenza di arbitraggio, la parità put-call per i contratti europei, la monotonicità, la convessità e la convergenza al crescere del numero di passi

Confronta i valori europei con una formula chiusa e i valori americani con un metodo indipendente. Verifica tempo zero, spot estremi e date dei dividendi

Registra convenzione dell'albero, carry, calendario, programma di esercizio e numero di passi. Un prezzo riportato senza queste impostazioni non è riproducibile