Normalverteilung und Student-t-Verteilung im Finanzwesen
Vergleichen Sie Normal- und Student-t-Verteilungen anhand von Tail-Abfall, Freiheitsgraden, Skala und Varianz, Likelihood, multivariater Abhängigkeit und ihren Grenzen als Modelle für Finanzrenditen
Kurzantwort
Eine Normalverteilung hat exponentiell abfallende Tails, die durch Mittelwert und Varianz festgelegt sind. Eine Student-t-Verteilung ergänzt Freiheitsgrade ν und hat polynomial abfallende Tails, wodurch sie extremen Beobachtungen mehr Wahrscheinlichkeit zuweist. Sie kann Finanzrenditen besser abbilden, aber eine einzelne symmetrische statische Verteilung erklärt nicht jedes Regime, jede Schiefe oder jedes Volatilitätscluster
Beide Modelle sind symmetrische Lage-Skalen-Familien
Eine Normalvariable lässt sich als X=μ+σZ schreiben, wobei Z standardnormal und σ gleich ihrer Standardabweichung ist
Eine Student-t-Variable in Lage-Skalen-Parametrisierung lässt sich als X=μ+sT_ν schreiben, wobei s ein Skalenparameter ist und ν die Dicke der Tails bestimmt
Beide sind symmetrisch um μ. Keine erzeugt daher Schiefe von Renditen, sofern das Modell nicht erweitert oder transformiert wird
Student-t entsteht aus Unsicherheit über die Varianz
Die klassische Statistik T=Z/√(V/ν) mit unabhängigem Z∼N(0,1) und V∼χ²_ν hat eine Standard-Student-t-Verteilung
Der zufällige Nenner macht große standardisierte Werte wahrscheinlicher als bei einem Normalgesetz mit fester Varianz
Wenn ν gegen unendlich geht, verschwindet die Unsicherheit des Nenners und die Student-t-Verteilung nähert sich der Normalverteilung
Freiheitsgrade bestimmen die Momente
Die Tails der Student-t-Verteilung fallen nach einem durch ν gesteuerten Potenzgesetz ab, während Normal-Tails exponentiell mit dem Quadrat der Entfernung abfallen
Ihr Mittelwert existiert für ν>1, die Varianz für ν>2 und das vierte Moment für ν>4. Kleinere ν entfernen das entsprechende Populationsmoment
Für ν>4 beträgt die Exzess-Kurtosis 6/(ν−4), wodurch der Übergang zu Normal-Tails unmittelbar sichtbar wird
Skala ist nicht immer die Standardabweichung
Für eine Student-t-Verteilung in Lage-Skalen-Form mit ν>2 gilt Var(X)=s²ν/(ν−2), daher ist s kleiner als die Standardabweichung
Wenn man eine normale σ und eine t-Skala s so vergleicht, als wären beide Volatilitäten, kann dies zu einem falschen Tail- oder Likelihood-Vergleich führen
Softwarepakete verwenden unterschiedliche Parameternamen und teils standardisierte Versionen mit Varianz eins. Halten Sie deshalb die exakte Dichtekonvention fest
Likelihood wägt Zentrum und Tails ab
Die Maximum-Likelihood-Schätzung unter Normalverteilung lässt quadratische Residuen dominieren und kann einige Extrembeobachtungen die Varianzschätzung aufblähen lassen
Die Student-t-Likelihood gewichtet große standardisierte Residuen über ν weniger stark und liefert damit einen robust wirkenden Fit, ohne sie für unmöglich zu erklären
Die Schätzung von ν nahe einer Momentengrenze kann Varianz, Kurtosis und Risikomaße instabil machen, selbst wenn der Optimierer konvergiert
Multivariate Modelle verändern gemeinsame Extreme
Ein multivariates Normalgesetz impliziert eine Gauß-Copula mit null asymptotischer Tail-Abhängigkeit unterhalb perfekter Korrelation
Ein multivariates t-Gesetz teilt eine zufällige Skala und erzeugt bei endlichem ν eine symmetrische positive Tail-Abhängigkeit
Diese Symmetrie kann für Aktien trotzdem falsch sein, wenn gemeinsame Kursstürze sich von gemeinsamen Anstiegen unterscheiden oder die Abhängigkeit zwischen Regimen wechselt
Die Modellauswahl braucht Tail-Prüfungen außerhalb der Stichprobe
Vergleichen Sie Wahrscheinlichkeits- und Quantildiagramme, Schwellenüberschreitungen, prädiktive Likelihood, Intervallabdeckung sowie Backtests von VaR oder ES
Schätzen Sie über rollierende Fenster neu und testen Sie schiefe t-Verteilungen, Mischungen, stochastische Volatilität und gefilterte Residuen als Alternativen, wenn die Struktur bestehen bleibt
Ein besserer t-Fit bedeutet, dass er für die gewählte Aufgabe eine nützlichere Approximation ist, nicht dass Renditen buchstäblich einem unveränderlichen t-Gesetz folgen
Häufige Fragen
Warum hat die Student-t-Verteilung dickere Tails als die Normalverteilung?
Ihre zufällige Skalenmischung erzeugt polynomialen Tail-Abfall, während Normalwahrscheinlichkeiten exponentiell mit dem Quadrat der Entfernung abfallen
Was bedeuten Freiheitsgrade?
Der Parameter ν steuert die Dicke der Tails und die Existenz von Momenten; kleinere positive Werte erzeugen schwerere Tails
Ist die Skala der Student-t-Verteilung gleich der Volatilität?
Im Allgemeinen nicht. Für ν>2 beträgt ihre Standardabweichung unter der üblichen Lage-Skalen-Konvention s√[ν/(ν−2)]
Ist die Student-t-Verteilung für Finanzrenditen immer besser?
Nein. Sie erfasst symmetrische schwere Tails, kann aber Schiefe, Volatilitätsdynamik, Sprünge und regimeabhängige Abhängigkeit verfehlen