Isometría de Itô para integrales estocásticas

Para un proceso predecible H, la identidad central es E[(∫₀ᵀ H_t dW_t)²] = E[∫₀ᵀ H_t² dt]

Cuando se cumplen las hipótesis, la integral tiene media condicional cero, por lo que ambos lados también describen su varianza

No es una regla para multiplicar diferenciales. Es una identidad L² definida como límite de aproximaciones simples en tiempos de negociación

Si H vale 2 desde 0 hasta 0.25 y luego vale cero, la integral es 2(W_0.25 - W_0)

Su varianza es 4 × 0.25 = 1, exactamente la integral temporal de H²

En intervalos no solapados, los términos cruzados desaparecen en esperanza por independencia de los incrementos brownianos. El límite conserva esa cuenta para H admisible

En una cobertura de difusión, una exposición residual H_t al choque browniano se acumula como ∫ H_t dW_t

La isometría muestra que el error cuadrático medio modelado depende de toda la trayectoria de exposición, no solo de la delta final ni de una volatilidad promedio

Dos coberturas pueden terminar con el mismo error en una trayectoria y tener riesgos esperados muy distintos si su exposición intradía fue diferente

Los incrementos de Monte Carlo suelen ser H_t√Δt Z, con Z de media cero y varianza uno

Su varianza condicional es H_t²Δt, y la suma de esos términos es la contraparte discreta de la isometría

Al cambiar la malla temporal, compare el presupuesto integrado de H² y el error muestral en lugar de validar un resultado solo con más trayectorias

Con varios impulsores brownianos, la varianza incluye la matriz de covarianza y términos de exposición cruzada

Saltos, rebalanceo discreto, costes, cotizaciones obsoletas y error de parámetros no desaparecen con la identidad

El teorema revisa una componente de difusión cuadrado-integrable. No pronostica beneficios ni garantiza una regla de negociación segura