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Representación del riesgo12 min
Teorema de representación de martingalas: de la integral a la cobertura
Aprende cómo una martingala se representa como integral estocástica, cuándo el integrando es una cobertura y por qué esto determina la completitud del mercado
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
El teorema representa una martingala adecuada como su valor inicial más una integral estocástica frente a impulsores especificados. En finanzas, esa integral es cobertura dinámica si las ganancias negociadas abarcan los mismos riesgos
Hay que especificar la fuente de información
Una martingala se define respecto de una filtración F_t, la información disponible a través del tiempo
En el teorema browniano estándar, F_t está generada por el movimiento browniano y completada con los conjuntos nulos usuales
Ampliar la filtración puede introducir riesgos que el impulsor declarado no representa y cambiar la conclusión
El teorema convierte la martingala en una integral
Para M browniana y cuadrado-integrable existe φ predecible tal que M_t = M_0 + ∫_0^t φ_u dW_u
De forma equivalente, H = E[H] + ∫_0^T φ_u dW_u para una variable terminal adecuada
El integrando es único bajo la convención de integrabilidad y su dimensión sigue el número de riesgos impulsores
El integrando se convierte en proporción de cobertura
Bajo una medida de valoración, el valor descontado de un derecho es martingala cuando se cumplen las condiciones habituales
Representarlo frente al mismo ruido de los activos negociados revela la exposición que debe igualarse dinámicamente
Resolver la ecuación de cargas de volatilidad transforma el integrando en posiciones de acciones u otros valores
La representación enlaza con la completitud
Si las ganancias de activos abarcan cada componente del riesgo impulsor, pueden replicarse los derechos adecuados
En una difusión browniana importa el rango de la matriz de cargas de volatilidad, no solo contar nombres de activos
La representación completa apoya una medida equivalente de valoración única bajo no arbitraje estándar
El riesgo adicional rompe la representación negociable
Un factor browniano no negociado, un salto, un impago o información ampliada puede añadir una componente no abarcada
La martingala del derecho contiene entonces un residuo ortogonal que ninguna estrategia autofinanciada disponible elimina
Puede existir representación matemática con más impulsores y seguir siendo incompleto el mercado si no son negociables
La incompletitud obliga a elegir precio y cobertura
Sin réplica exacta, el no arbitraje puede admitir varias medidas martingala y un intervalo de precios
Mínima varianza, utilidad, indiferencia y supercobertura tratan de forma distinta la parte no abarcada
El criterio elegido es un dato económico, no una consecuencia del teorema por sí solo
La verificación debe igualar todos los supuestos
Declare filtración, medida, impulsores, clase de integrabilidad, estrategias admisibles y matriz de volatilidad
Compruebe predictibilidad e integrabilidad del integrando, además de rango y estabilidad al convertirlo en posiciones
Separe el residuo de costes y discretización; un residuo muestral pequeño no demuestra completitud teórica
Preguntas frecuentes
¿Qué dice el teorema de representación en términos sencillos?
Que toda variación nueva de una martingala adecuada puede acumularse mediante exposición predecible a los impulsores declarados
¿Por qué importa la filtración?
Define qué información y sorpresas existen; ampliarla puede añadir riesgo no representado por los impulsores originales
¿La representación garantiza una cobertura negociable?
No. Los impulsores matemáticos también deben estar abarcados por ganancias de valores realmente negociables
¿Cómo se relaciona con un mercado completo?
El mercado es completo si sus ganancias permiten representar y replicar toda martingala de derecho relevante
Fuentes
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