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Teoría de no arbitraje12 min de lectura
Teorema fundamental de valoración de activos
Comprende cómo el no arbitraje, las medidas martingala equivalentes y la completitud del mercado forman el teorema fundamental de valoración
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
El teorema fundamental vincula la ausencia de arbitraje con una medida equivalente bajo la que los precios negociables bien descontados son martingalas. La unicidad de esa medida también caracteriza un mercado completo
Un arbitraje es más fuerte que una buena operación
Un arbitraje comienza sin inversión neta, no puede perder dentro del modelo y produce un pago positivo en al menos un estado relevante
Un Sharpe alto, una ventaja estadística o una opción aparentemente barata no son arbitraje si todavía pueden perder
El teorema parte de esa condición exacta. Cambiar estrategias admisibles, financiación o restricciones puede alterar si existe arbitraje
Los precios de estado convierten pagos en valor actual
En un mercado finito de un periodo, cada estado futuro recibe un peso de valor actual no negativo. Un pago replicado se valora con su suma ponderada
Si pesos estrictamente positivos satisfacen todos los precios, una cartera de coste cero no puede ganar en algún estado sin perder en ninguno
Normalizarlos por la cuenta monetaria produce probabilidades. Así, un funcional de precios se convierte en medida martingala
La equivalencia conserva los sucesos imposibles
Una medida equivalente asigna probabilidad cero exactamente a los mismos sucesos que la medida física. Cambia pesos sin crear ni borrar estados posibles
Importa porque un pago positivo solo en un estado declarado imposible no puede sostener el mismo argumento de arbitraje
Los nuevos pesos son herramientas de valoración, no una afirmación de que los inversores crean literalmente esas probabilidades
No arbitraje corresponde a una medida martingala
En modelos finitos estándar, no tener arbitraje equivale a que exista una medida equivalente que haga martingalas los precios descontados
En mercados generales de tiempo continuo importan la condición precisa de no beneficio gratuito y los supuestos técnicos
El mensaje económico permanece: los precios coherentes pueden representarse como valores descontados condicionales bajo una medida adecuada
La completitud exige replicar cualquier derecho
Un mercado es completo cuando todo pago contingente admisible puede generarse negociando los activos disponibles dentro del modelo
En entornos estándar, completitud equivale a unicidad de la medida martingala. Una medida da un valor sin arbitraje a cada derecho
Si varias medidas encajan con los activos, los pagos no alcanzables pueden conservar un intervalo de precios sin un criterio adicional
Los modelos binomial y Black–Scholes ilustran el teorema
Un árbol con una acción y un bono tiene dos estados y suele replicar cualquier pago en ellos, por lo que su probabilidad neutral es única
La difusión ideal Black–Scholes usa negociación continua para abarcar su única fuente browniana y obtiene el conocido precio de réplica
Añadir volatilidad no negociada, saltos, costes o límites puede eliminar la completitud aunque sigan existiendo precios útiles
El teorema no elige la distribución real
El no arbitraje restringe precios relativos, pero no identifica rentabilidades esperadas, frecuencias ni el mejor modelo económico
Dos modelos pueden ajustar precios actuales y producir dinámicas distintas fuera de strikes o vencimientos observados y al recalibrar
Separe coherencia de predicción. Una medida válida puede revalorar instrumentos sin pronosticar bien las frecuencias físicas
La aplicación necesita un mercado declarado
Especifique activos, numerario, información, estrategias, financiación, colateral, costes y riesgos que pueden cubrirse de verdad
Pruebe límites estáticos y si la réplica sobrevive a negociación discreta, liquidez e incertidumbre de parámetros
El teorema fundamenta el modelo; no prueba que una mesa ejecute la cobertura ideal ni que toda cotización observada esté libre de arbitraje
Preguntas frecuentes
¿Qué afirma el teorema fundamental de valoración?
En su forma estándar, no arbitraje corresponde a una medida martingala equivalente y completitud a su unicidad
¿Qué es una medida martingala equivalente?
Conserva los sucesos de probabilidad cero y hace martingalas los activos negociables bien descontados por el numerario elegido
¿El no arbitraje implica un precio único de opción?
Solo si el pago es replicable o el mercado es completo. Un mercado incompleto puede admitir varios precios coherentes
¿La medida neutral al riesgo pronostica el mundo real?
No. Representa cómo se valoran los estados, no una estimación directa de sus frecuencias físicas
Fuentes
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