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Precio por estado12 min
Precios de estado de Arrow–Debreu: cuánto vale cada futuro posible
Entiende los títulos y precios de estado de Arrow–Debreu, su diferencia con la probabilidad física y cómo las opciones revelan una densidad neutral al riesgo
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Un precio de estado de Arrow–Debreu valora hoy un título que paga uno solo en un futuro concreto. Un pago complejo se valora sumando cada importe por su precio de estado, que incorpora riesgo y no equivale a una probabilidad física
El título elemental paga en un solo estado
Con un conjunto finito de futuros, el título Arrow–Debreu paga uno en el estado designado y cero en todos los demás
Como una base vectorial, la combinación de títulos de estado construye cualquier patrón de pagos. Esa es la idea de mercado completo
Aunque no coticen directamente, su precio puede deducirse por no arbitraje si activos existentes replican el mismo pago
Todo pago se descompone en una suma por estados
Si X_s es el pago y q_s el precio en el estado s, el precio actual es P = Σ q_s X_s
Un bono que paga uno siempre equivale a sumar todos los títulos de estado, por lo que su precio es Σ q_s
La descomposición convierte incluso contratos no lineales en un problema lineal sobre pagos al vencimiento
Un precio de estado no es una probabilidad física
Con probabilidad física p_s y factor de descuento m_s, q_s = p_s m_s: combina posibilidad y valor económico del dinero en ese estado
Un estado malo puede ser poco probable y aun así tener precio elevado por su valor como seguro
Dividir q_s por el precio del bono crea la probabilidad neutral al riesgo; antes de normalizar es valor presente y no tiene que sumar uno
Las opciones forman derechos sobre franjas estrechas
Un butterfly con tres strikes cercanos genera un pago positivo dentro de una franja estrecha del precio final
Al reducir la distancia entre strikes, se aproxima a un derecho que responde solo cerca de un estado de precio concreto
Por eso el corte transversal de opciones contiene pesos relativos que el mercado asigna a futuros precios
La curvatura del call revela densidad implícita
Con calls europeos ideales y una curva suave, la segunda derivada del precio respecto al strike da la densidad neutral al riesgo descontada
El resultado de Breeden–Litzenberger usa toda la sección de strikes de un mismo vencimiento, no una opción aislada
Tras ajustar descuento y vencimiento se obtiene una densidad de valoración, no una predicción física de frecuencias
El no arbitraje restringe la forma
El call no debe aumentar con el strike y debe ser convexo; lo contrario permite arbitraje con spreads verticales o butterflies
La convexidad evita precios de estado negativos. Una interpolación ingenua puede romperla aunque las cotizaciones parezcan razonables
En mercados incompletos, los precios observados no determinan necesariamente una única extensión a pagos no negociados
Los datos convierten la extracción en un problema inverso
Strikes escasos, precios antiguos y spreads amplios hacen que la segunda derivada amplifique mucho el ruido
Ejercicio anticipado, dividendos, tipos, referencia spot o futuro, liquidación y horas distintas también distorsionan el resultado
Hay que publicar datos, ajuste de no arbitraje, interpolación, suavizado, extrapolación de colas y sensibilidad de revaloración
Preguntas frecuentes
¿Qué es un título Arrow–Debreu?
Es un título teórico que paga uno en un estado futuro definido y cero en todos los demás
¿Precio de estado y probabilidad neutral son lo mismo?
No directamente. Al dividir el precio de estado por el precio del bono y normalizar a uno se obtiene la probabilidad neutral
¿Pueden las opciones revelar precios de estado?
En condiciones ideales, la curvatura por strike de los calls de un vencimiento revela la densidad neutral descontada
¿Puede ser negativo un precio de estado?
Bajo no arbitraje fuerte, no. Una estimación negativa suele indicar ruido, cotizaciones incoherentes o una interpolación deficiente
Fuentes
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