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Cálculo estocástico12 min de lectura
El lema de Itô en la valoración de opciones
Descubre por qué una función estocástica necesita un término de segundo orden y cómo el lema de Itô conecta gamma, volatilidad y cobertura delta
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
El lema de Itô es la regla de la cadena para un proceso estocástico. Como un incremento browniano tiene orden √dt, su cuadrado conserva orden dt. La segunda derivada resultante enlaza gamma, volatilidad y tiempo
La regla de la cadena ordinaria omite variación estocástica
Para una trayectoria determinista suave x(t), el cambio local de f(t, x) se describe con su derivada temporal y su primera derivada respecto de x
Una difusión es continua, pero su trayectoria no es diferenciable de manera ordinaria. Su incremento aleatorio durante un intervalo breve escala con la raíz del tiempo
Esa escala hace que el término cuadrático de Taylor sea tan grande como el término temporal. Eliminarlo borra el efecto que aparece como gamma en opciones
La variación cuadrática conserva el segundo orden
Si dW representa un incremento browniano, en el cálculo de Itô dW² aporta dt, mientras que dt² y dt·dW desaparecen al orden relevante
Es la abreviatura de un límite: la suma de los incrementos brownianos al cuadrado converge al tiempo transcurrido al refinar la partición
No afirma mediante álgebra ordinaria que cada choque aleatorio al cuadrado sea tiempo. Es una regla límite propia de la integración estocástica
El lema expande una función de una difusión
Supongamos dS = μSdt + σSdW y un valor V(t, S). El lema de Itô determina el cambio estocástico local de la opción
La deriva es Vₜ + μS Vₛ + 1/2 σ²S²Vₛₛ. El término aleatorio es σS VₛdW, donde los subíndices indican derivadas parciales
Delta Vₛ multiplica el choque de primer orden y gamma Vₛₛ entra en la deriva de orden temporal por medio de la variación cuadrática
Gamma convierte volatilidad en cambio local esperado
Aunque el choque de precio tenga media condicional cero, la convexidad hace que movimientos positivos y negativos afecten el valor de forma asimétrica
El término 1/2 σ²S²Gamma mide ese aporte local de curvatura. Más volatilidad eleva la velocidad a la que una función curva acumula valor modelado
No significa que una posición larga en gamma garantice beneficio. Theta, prima, trayectoria, saltos, cambios de sesgo y costes determinan el resultado real
La cobertura delta elimina el término aleatorio modelado
Una opción combinada con una posición corta de su delta en el subyacente cancela instantáneamente los términos dW bajo los supuestos de difusión
La cartera local restante se modela sin riesgo, así que el no arbitraje exige que gane el tipo libre de riesgo con dividendos y coste de carry coherentes
Al sustituir esa condición desaparece μ y surge la ecuación de Black–Scholes. La relación nace de la réplica, no de una previsión de rentabilidad
La fórmula también orienta modelos más amplios
Con varias difusiones correlacionadas aparecen derivadas segundas cruzadas ponderadas por covarianzas. Conectan correlación y curvatura conjunta
Cambiar el proceso de estado modifica el generador y la ecuación de valoración. Volatilidad local, volatilidad estocástica y tipos usan expansiones relacionadas
Cuando la función no es bastante suave, fronteras y quiebres requieren soluciones débiles, fórmulas generalizadas o métodos numéricos
Los saltos y la cobertura real requieren términos adicionales
Un proceso con saltos no cabe en la regla browniana continua. Su fórmula de cambio incluye contribuciones discontinuas y puede generar una ecuación integro-diferencial
Las coberturas reales son discretas y costosas. Cancelar un dW infinitesimal no elimina riesgo de hueco, liquidez, parámetros o ejecución
Use el lema para entender la mecánica y declare el proceso, la suavidad, la medida y los supuestos de negociación antes de interpretar precio o griegas
Preguntas frecuentes
¿Por qué el lema de Itô tiene un término adicional?
Los incrementos brownianos escalan con √dt, por lo que su cuadrado es de orden dt y el término cuadrático de Taylor no desaparece
¿Qué significa dW² = dt?
Resume la variación cuadrática en el límite estocástico; no es una igualdad puntual ordinaria entre un número aleatorio y el tiempo
¿Cómo conduce el lema de Itô a Black–Scholes?
Expande el cambio local, una cobertura delta cancela el choque de difusión y el no arbitraje fija el rendimiento restante
¿Se aplica el lema de Itô a saltos de precio?
La versión continua no basta. Los modelos de saltos necesitan una fórmula ampliada con términos discontinuos explícitos
Fuentes
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